타원곡선의 주기

수학노트
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개요


정의

  • 타원곡선 \(y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\)의 주기는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자 \(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)이다\[\omega_1=2\int_{e_1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\]\[\omega_2=2\int_{e_2}^{e_1}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\]



  • 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 경우 (타원곡선 y^2=x^3-x 에서 가져옴)\[e_1=1, e_2=0, e_3=-1\]로 두자\[\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]\[\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\]




1종타원적분과의 관계



1종완전타원적분과 타원곡선의 주기1

\[\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k) = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]

여기서 \(\lambda=k^2\).

  • 일반적으로

\[\int_{c}^{b}\frac{dt}{\sqrt{(a-t)(b-t)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}})\]



1종완전타원적분과 타원곡선의 주기2

  • 다음이 성립한다

\[K(k)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x (x^2 - (4k^2-2)x + 1)}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]

(증명)

\(k=\cos \alpha\) 로 두자.

\(K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha \sin^2 \theta }}\)

\(=\int_{0}^{1} \frac{2dt}{\sqrt{t^4 - 2(2\cos^2 \alpha - 1)t^2 + 1}}\) (\(t =\tan (\theta/2) \)로 치환)

\(=\int_{1}^{\infty} \frac{2dx}{\sqrt{x^4 - 2x^2 \cos 2\alpha + 1}}\) (\(x=\frac{1}{t}\) 로 치환)

\(=\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}\) (\(u=x^2\)로 치환)


한편, \(u=\frac{1}{v}\) 치환을 통하여

\(\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}=\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{v (v^2 - 2v \cos 2\alpha + 1)}}\)

임을 보일 수 있으므로,

\(2K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}\)

\(4K(\cos\alpha)\)는 타원곡선 \(y^2=x(x-e^{2i\alpha})(x-e^{-2i\alpha})=x(x^2 - 2x \cos 2\alpha + 1)\)의 주기임을 알 수 있다. ■



역사



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