카탈란 상수

수학노트
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개요

  • 정의

\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\] 여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수

  • 많은 정적분에 등장함




적분표현

\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\] \[\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\] 이로부터 다음을 알 수 있다\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\]\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\]

  • 그 밖의 정적분 표현\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\]\[G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\]\[G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\]\[G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\]\[\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\]
  • dilogarithm 함수



타원적분과 카탈란

\[\int_0^1 K(k) \,dk=2G\]

\[\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G\]



라이프니츠 급수와의 비교

  • 라이프니츠 급수\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]



오일러-맥클로린 공식을 통한 계산

  • 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자\[G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\]



수학에서의 등장

다이머 모형(dimer model)


쌍곡기하학

메모

역사



관련된 항목들

사전 형태의 자료



관련링크와 웹페이지



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