이차형식 x^2+27y^2

수학노트
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개요

  • \(\mathcal{O}=\mathbb{Z}(\sqrt{-27})\subset K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  • ring class field \(K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})\)


\(x^2+27y^2\) 꼴로 표현되는 정수

  • \(p>3\) 이 소수라 하자.
  • $p\equiv 1\pmod 3$이면, $4p=x^2+27y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 유일하게 존재(부호의 차이를 무시할 때)
  • $p\equiv 2\pmod 3$이면, $4p=x^2+27y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하지 않는다
  • 다음 조건은 동치이다
    • \(x^2+27y^2=p\)의 정수해가 존재한다
    • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, \(x^3-2\equiv0\pmod p\) 가 해를 갖는다. 즉, 2가 $p$에 대한 3차 잉여이다


\(x^3\equiv 2\pmod p\) 의 해의 개수

  • 3, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 있는 경우
  • 2, 불가능
  • 1, \(p \not\equiv1 \pmod 3\) 인 경우
  • 0, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 없는 경우


테이블1

  • 맨 오른쪽의 $\{x,y\}$는 $x^2+27y^2=p$의 해이며, 없는 경우는 0로 나타내었다

$$\begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^3-2 \pmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & x^3 & 0 \\ 3 & 0 & (x+1)^3 & 0 \\ 5 & 2 & (x+2) \left(x^2+3 x+4\right) & 0 \\ 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ 11 & 2 & (x+4) \left(x^2+7 x+5\right) & 0 \\ 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ 17 & 2 & (x+9) \left(x^2+8 x+13\right) & 0 \\ 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ 23 & 2 & (x+7) \left(x^2+16 x+3\right) & 0 \\ 29 & 2 & (x+3) \left(x^2+26 x+9\right) & 0 \\ 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ 41 & 2 & (x+36) \left(x^2+5 x+25\right) & 0 \\ 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ 47 & 2 & (x+26) \left(x^2+21 x+18\right) & 0 \\ 53 & 2 & (x+35) \left(x^2+18 x+6\right) & 0 \\ 59 & 2 & (x+21) \left(x^2+38 x+28\right) & 0 \\ 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ 71 & 2 & (x+22) \left(x^2+49 x+58\right) & 0 \\ 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ 83 & 2 & (x+33) \left(x^2+50 x+10\right) & 0 \\ 89 & 2 & (x+73) \left(x^2+16 x+78\right) & 0 \\ 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ 101 & 2 & (x+75) \left(x^2+26 x+70\right) & 0 \\ 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ 107 & 2 & (x+101) \left(x^2+6 x+36\right) & 0 \\ 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ 113 & 2 & (x+32) \left(x^2+81 x+7\right) & 0 \end{array} $$

테이블2

  • $p\equiv 1 \pmod 3$인 경우만 따로 고려

$$ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^3-2 & \{x,y\} \\ \hline 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ 127 & 1 & (x+5) (x+27) (x+95) & \{10,1\} \\ 139 & 1 & x^3+137 & 0 \\ 151 & 1 & x^3+149 & 0 \\ 157 & 1 & (x+21) (x+41) (x+95) & \{7,2\} \\ 163 & 1 & x^3+161 & 0 \\ 181 & 1 & x^3+179 & 0 \\ 193 & 1 & x^3+191 & 0 \\ 199 & 1 & x^3+197 & 0 \\ 211 & 1 & x^3+209 & 0 \\ 223 & 1 & (x+24) (x+44) (x+155) & \{14,1\} \\ 229 & 1 & (x+131) (x+150) (x+177) & \{11,2\} \end{array} $$


역사



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