"후르비츠-크로네커 유수"의 두 판 사이의 차이

2015년 7월 2일 (목) 23:44 판

개요

$\mathcal{Q}_d$는 $-d=b^2-4ac$를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q=[a,b,c]=ax^2+bxy+cy^2$의 집합
모듈라군 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$은 $\mathcal{Q}_d$에 작용
각각의 $Q$에 대하여, 자기동형군 $\Gamma_{Q}$을 생각, $w_{Q}=|\Gamma_{Q}|$
- $w_Q=2$ if $Q\sim [a,0,a]$
- $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
- 다른 경우 $w_Q=1$
후르비츠-크로네커 수를 다음과 같이 정의

\[H(d):=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}\]

예

판별식이 작은 경우의 이차형식 목록

$d=3$

$Q=x^2+xy+y^2$, $w_Q=3$
$H(3)=\frac{1}{3}$

$d=4$

$Q=x^2+y^2$, $w_Q=2$
$H(4)=\frac{1}{2}$

$d=12$

$Q=3x^2+y^2$,$w_Q=1$
$Q=2x^2+2xy+2y^2$, $w_Q=3$
$H(12)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

$d=15$

$Q=x^2+xy+4y^2$, $w_Q=1$
$Q=2x^2+xy+2y^2$, $w_Q=1$
$H(15)=2$

생성함수

다음과 같이 생성함수를 정의하자

$$ \mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n} $$

$\mathcal{H}_1$에 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 비해석적 모듈라 형식(non-holomorphic modular form) $F$를 얻을 수 있다

\[F(\tau): = \mathcal{H}_1(\tau) + \frac{1}{16\pi\sqrt{y}}\sum_{n\in Z}\beta(4\pi n^2y)q^{-n^2}\] 여기서 \[\displaystyle \beta(t) = \int_t^\infty u^{-3/2} e^{-ut} \,du=t^{1/2}\int_t^\infty v^{-3/2} e^{-v} \,dv\]

이는 유사 모듈라 형식(mock modular form)의 이론에서 $\Gamma_0(4)$에 대한 weight 3/2 harmonic weak Maass 형식의 예이다

정리 (Zagier, 1975)

$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in \Gamma_0(4)$, $\tau\in \mathbb{H}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ F \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = \left(\frac{c}{d}\right) \left(\frac{-1}{d}\right)^{1/2}(c\tau +d)^{3/2} F(\tau) $$

테이블

\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccc} d & 0 & 3 & 4 & 7 & 8 & 11 & 12 & 15 & 16 & 19 & 20 & 23 & 24 & 27 & 28 & 31 & 32 & 35 & 36 & 39 & 40 & 43 & 44 & 47 & 48 \\ \hline 12 H(d) & -1 & 4 & 6 & 12 & 12 & 12 & 16 & 24 & 18 & 12 & 24 & 36 & 24 & 16 & 24 & 36 & 36 & 24 & 30 & 48 & 24 & 12 & 48 & 60 & 40 \\ \end{array}

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWTNfbTlUZkhxUE0/edit

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 ==관련된 항목들==
+* [[코헨 함수]]
 * [[singular moduli의 대각합 (traces of singular moduli)]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==