"포아송의 덧셈 공식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 11개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
  
−
* [[포아송의 덧셈 공식]]
+
*  아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의
 +
**  쌍대군 <math>\hat{G}=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}</math>
 +
** <math>H^{\#}=\{\chi\in \hat{G} | \chi (h)=1\}</math>
 +
* [[푸리에 변환]] <math>\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) </math>
  
−
 
+
   
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
−
 
 
−
* 아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의<br>
 
−
**  쌍대군 <math>\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}</math><br>
 
−
** <math>H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}</math><br>
 
−
* [[푸리에 변환]]<br><math>\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) </math><br>
 
−
 
 
−
 
 
  
 
(정리) 포아송 덧셈 공식
 
(정리) 포아송 덧셈 공식
  
−
아벨군 <math>G</math>와 부분군 <math>H</math>, <math>g\in G</math>에 대하여 다음이 성립한다.
+
아벨군 <math>G</math>와 부분군 <math>H</math>, <math>g\in G</math>에 대하여 다음이 성립한다.
−
 
+
:<math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)</math>
−
<math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)</math>
 
  
−
 
+
  
 
(따름정리)
 
(따름정리)
  
−
특별히 <math>g=1</math>인 경우 다음을 얻는다.
+
특별히 <math>g=1</math>인 경우 다음을 얻는다.
−
 
+
:<math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)</math>
−
<math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
−
 
+
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;"><math>G=\mathbb R</math>인 경우</h5>
+
  
−
* <math>G=\mathbb R</math>, <math>H=\mathbb Z</math><br>
+
−
* <math>\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}</math>, <math>\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}</math><br>
 
  
−
* <math>H^{\#}=\{\chi_n} :  n \in \mathbb Z\}</math><br>
+
==<math>G=\mathbb R</math>인 경우==
  
−
*  푸리에 변환<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br>
+
* <math>G=\mathbb R</math>, <math>H=\mathbb Z</math>
 +
* <math>\hat{G}=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}</math>
 +
* <math>\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}</math>
 +
* <math>H^{\#}=\{\chi_n : n \in \mathbb{Z}\}</math>
 +
*  푸리에 변환
 +
:<math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math>
  
−
 
+
  
 
(정리) 포아송
 
(정리) 포아송
−
 
+
:<math>\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)</math>
−
<math>\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)</math>
+
−
 
 
−
 
 
  
 
(증명)
 
(증명)
 +
<math>F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)</math>라 두면, <math>F(x+1)=F(x)</math> 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.
 +
:<math>F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}</math>
 +
이 때, <math>a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt</math>
 +
따라서
 +
:<math>F(0)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n</math>
  
−
<math>F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)</math>
+
한편 :<math>a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)</math>
−
 
+
로부터 다음을 얻는다
−
<math>F(x+1)=F(x)</math> 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.
+
:<math>\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)</math> (증명끝)
−
 
 
−
<math>F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}</math>
 
−
 
 
−
<math>a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt</math>
 
−
 
 
−
<math>F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n</math>
 
−
 
 
−
한편 <math>a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)</math>
 
  
−
따라서 <math>\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)</math> (증명끝)
+
*  응용
 +
** [[자코비 세타함수]]
 +
** [[격자의 세타함수]]
  
−
* 응용<br>
+
   
−
** [[자코비 세타함수]]<br>
 
−
** [[격자의 세타함수]]<br>
 
  
−
 
+
  
−
 
+
==선형 코드의 경우==
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">선형 코드의 경우</h5>
+
* <math>G=\mathbb F_2^n</math>, <math>H = C</math> 선형코드의 경우
 +
* <math>\hat{G}=\{\chi_a:a\in G\}</math>,여기서  <math>\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}</math> 
 +
* <math>C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \, \forall u \in G\}</math>
  
−
* <math>G=\mathbb F_2^n</math>, <math>H = C</math> 선형코드의 경우<br>
+
* 선형코드에 대해서는 [[코딩이론]] 항목을 참조
  
−
 
+
  
−
*  <br><math>\^G=\{\chi_a:a\in G\}</math>,여기서  <math>\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}</math><br>  <br>
+
   
−
*   <br><math>C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \ \text{ for all }u \in G\}</math><br>  <br>
 
  
−
*  선형코드에 대해서는 [[코딩이론]] 항목을 참조<br>
+
==메모==
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
 
  
 
* [[코딩이론]]
 
* [[코딩이론]]
−
*  코드<br>
+
*  코드
 
** 이차형식에서 격자에 대응
 
** 이차형식에서 격자에 대응
−
*  코드의 weight enumerator<br>
+
*  코드의 weight enumerator
−
*  <br> 격자의 쎄타함수에 대응<br>
+
*   격자의 쎄타함수에 대응
 
* 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
 
* 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
 
* MacWilliams Identity
 
* MacWilliams Identity
104번째 줄: 84번째 줄:
 
* 섀넌 샘플링 정리
 
* 섀넌 샘플링 정리
  
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
이번주에 열린 [http://statmech.inha.ac.kr/statphy2010/ 제7회 통계물리 겨울학교]에서 푸아송 합공식(Poisson summation formula; PSF)을 증명하는 문제가 강의 중 과제로 나왔습니다. PSF는 다음과 같습니다.
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>[[수학사연표 (역사)|]]<br>
+
<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx F(x) e^{-2\pi imx}</math>
  
−
 
+
좌변만 보면 F는 정수만 인수로 갖는 것처럼 보이지만 일반적으로 실수를 인수로 가집니다. 이 F를 [http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform 푸리에 변환]합니다.
  
−
 
+
<math>F(x)=\int_{-\infty}^\infty dk \hat F(k) e^{2\pi i kx},\ \hat F(k)=\int_{-\infty}^\infty dx F(x) e^{-2\pi i kx}</math>
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
+
이를 이용해 PSF의 좌변을 다시 씁니다.
  
−
* [[푸리에 변환]]<br>
+
<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)= \int_{-\infty}^{\infty}dk\hat F(k)\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}</math>
−
* [[자코비 세타함수]]<br>
 
−
* [[격자의 세타함수]]<br>
 
  
−
 
+
우변의 n에 대한 합은 k가 정수일 때는 무한대로 발산, 그렇지 않을 때는 0이 됩니다. 델타 함수로 이를 다시 표현하면 아래와 같습니다.
  
−
 
+
<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(k-m)</math>
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
+
이로부터 PSF의 우변이 나옵니다.
  
−
*  도서내검색<br>
+
==역사==
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
+
* [[수학사 연표]]
 +
  
−
 
+
==관련된 항목들==
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+
* [[푸리에 변환]]
 +
* [[자코비 세타함수]]
 +
* [[격자의 세타함수]]
  
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>
+
  
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
==사전형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
−
 
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
 
−
 
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
−
* 네이버 블로그 검색 http://cafeblog.search.naver.com/search.naver?where=post&sm=tab_jum&query=
 
−
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
−
* 스프링노트 http://www.springnote.com/search?stype=all&q=
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이미지 검색</h5>
 
−
 
−
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
−
* http://images.google.com/images?q=
 
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
  
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">동영상</h5>
+
[[분류:통계물리]]
 +
[[분류:평형 통계물리]]
  
−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
==메타데이터==
−
*
+
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6520159 Q6520159]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'transform'}]
 +
* [{'LEMMA': 'FT'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:06 기준 최신판

개요

  • 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
    • 쌍대군 \(\hat{G}=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
    • \(H^{\#}=\{\chi\in \hat{G} | \chi (h)=1\}\)
  • 푸리에 변환 \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)


(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\]


(따름정리)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\]




\(G=\mathbb R\)인 경우

  • \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
  • \(\hat{G}=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\)
  • \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
  • \(H^{\#}=\{\chi_n : n \in \mathbb{Z}\}\)
  • 푸리에 변환

\[\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]


(정리) 포아송 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\]


(증명) \(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)라 두면, \(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다. \[F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\] 이 때, \(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\) 따라서 \[F(0)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\]

한편 \[a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\] 로부터 다음을 얻는다 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\] (증명끝)



선형 코드의 경우

  • \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
  • \(\hat{G}=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서 \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
  • \(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \, \forall u \in G\}\)



메모

  • 코딩이론
  • 코드
    • 이차형식에서 격자에 대응
  • 코드의 weight enumerator
  • 격자의 쎄타함수에 대응
  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity
  • 섀넌 샘플링 정리


이번주에 열린 제7회 통계물리 겨울학교에서 푸아송 합공식(Poisson summation formula; PSF)을 증명하는 문제가 강의 중 과제로 나왔습니다. PSF는 다음과 같습니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx F(x) e^{-2\pi imx}\)

좌변만 보면 F는 정수만 인수로 갖는 것처럼 보이지만 일반적으로 실수를 인수로 가집니다. 이 F를 푸리에 변환합니다.

\(F(x)=\int_{-\infty}^\infty dk \hat F(k) e^{2\pi i kx},\ \hat F(k)=\int_{-\infty}^\infty dx F(x) e^{-2\pi i kx}\)

이를 이용해 PSF의 좌변을 다시 씁니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)= \int_{-\infty}^{\infty}dk\hat F(k)\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}\)

우변의 n에 대한 합은 k가 정수일 때는 무한대로 발산, 그렇지 않을 때는 0이 됩니다. 델타 함수로 이를 다시 표현하면 아래와 같습니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(k-m)\)

이로부터 PSF의 우변이 나옵니다.

역사


관련된 항목들




사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'transform'}]
  • [{'LEMMA': 'FT'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=포아송의_덧셈_공식&oldid=52539"