"3차 방정식의 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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* 방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 의 근의 공식
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* 삼차방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 의 근의 공식
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*   <br>  <br> 방정식 <math>t^3 + pt + q = 0</math><br><math>u + v = t, uv = -p/3</math><br><math>u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0</math><br>  <br>  <br>
 
  
 
 
 
 
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<h5>카르다노의 해법</h5>
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방정식 <math>t^3 + pt + q = 0</math>
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새로운 두 변수 u,v를 도입하자.
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<math>u + v = t, uv = -p/3</math>
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다음 두 식을 만족시킨다.
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<math>u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0</math>
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이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.
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<math>u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0</math>
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<math>u^3</math>에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.
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<math> u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>
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이로부터,
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>
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<math>x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}</math>
  
 
 
 
 

2010년 2월 1일 (월) 14:15 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식

 

 

카르다노의 해법

 

 

방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)

새로운 두 변수 u,v를 도입하자.

\(u + v = t, uv = -p/3\)

다음 두 식을 만족시킨다.

\(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\)

\( 3uv+p=0\)

 

이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

\(u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\)

\(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

\( u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)

이로부터,

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\)

 

\(x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}\)

 

 

\(\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\)

 

 

 

 

 

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