3차 방정식의 근의 공식

수학노트
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개요

  • 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식



카르다노의 해법

주어진 방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해, 치환 \(x = t - a/3\)을 사용한다.

새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻는다. 여기서 \[ p = b - \frac{a^2}3 \\q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} \]

새로운 두 변수 $u,v$를 다음과 같이 도입하자 \[ u + v = t \\ uv = -p/3 \]

다음 두 식을 만족시킨다. \[u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \tag{1}\] \[ 3uv+p=0\]


식 (1)의 양변에 \(u^3\)를 곱하여, 이로부터 $u$가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다. \[u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\tag{2}\] 이는 \(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다. \[u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\]

한편, \(v^3\) 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다. \[v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\]

따라서 $u, v$는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

\[ \sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]

여기서 \(\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\).

이제 \(uv = -p/3\) 임을 이용하면 $u$에 의해 $v$의 값이 결정된다.

편의를 위해 $A,B$를 다음과 같이 두자. \[ A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \\B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\] \(t=u+v\)는 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

\[ A+B\\ \omega A+\omega^2 B\\ \omega^2 A+\omega B \]



\(x^3-3x+1\)의 예

  • 방정식 \(x^3-3x+1=0\) 을 생각하자.
  • \(p=-3,q=1\) 이므로,\[-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}\]\[-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}\]
  • \(A=e^{2\pi i/9}\), \(B=e^{-2\pi i/9}\), \(\omega=e^{2\pi i /3}\)
  • 방정식의 세 근은 \(A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B\) 는 \(2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)\) 가 된다.



\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 근의 공식

  • 세 근 $x_1,x_2,x_3$는 다음과 같이 표현된다

\[\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\]


역사

  • 1545년 카르다노가 아르스 마그나》(Ars Magna) 를 출판
  • 수학사 연표



메모

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)



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