근의 공식과 라그랑지 resolvent

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개요

 

3차 방정식의 근의 공식

  • 방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
  • \(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
  • $u$와 $v$를 다음과 같이 정의하자

\[u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\] \[v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\]

  • 다음이 성립한다

\[u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\]\[uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\]

  • 따라서 $u,v$는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다

$$ \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right. $$

  • $x,y,z$는 다음 선형연립방정식의 해이므로, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다

$$ \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. $$


 

 

 

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