라그랑지 resolvent
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개요
- 다음과 같은 곳에서 등장
- 가우스 합
- 가해인 다항식의 근을 찾는 과정
- <math>\chi</math>-weighted average over the Galois orbit of <math>\theta</math>
정의와 주요 성질
- <math>K/F</math> 는 순환체확장
- <math>\text{Gal}(K/F)</math> 는 크기가 n인 갈루아 군
- charater <math>\chi : \text{Gal}(K/F) \to F</math>와 <math>\theta\in K</math>에 대하여 라그랑지 resolvent를 다음과 같이 정의함:<math>R(\theta,\chi)=\sum_{g\in G}\chi(g)g(\theta)\in K</math>
- 중요한 성질
- (equivariance) 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R)=\chi(g^{-1})R</math>
- 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R^n)=R^n</math>. 따라서 <math>R^n\in F</math>
- <math>\chi</math> 가 character group 의 생성원인 경우,:<math>\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}R(\theta,\chi^{i})</math>
- 이로부터 <math>\theta\in K</math> 를 F의 원소의 radical 들의 합으로 표현할 수 있음을 안다
3차 방정식의 근의 공식
- 방정식 <math>t^3+p t+q=0</math> 의 해를 <math>x,y,z</math>라 하자
- <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
- <math>u</math>와 <math>v</math>를 다음과 같이 정의하자
- <math>u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3</math>
- <math>v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3</math>
- <math>u,v</math>는 <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있음을 보일 수 있다
- 이로부터 <math>x,y,z</math>를, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있음을 보일 수 있다
- 근의 공식과 라그랑지 resolvent 참조
가우스 합의 예
- 가우스 합
- <math>a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
- <math>g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}</math>
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/f}</math>
- 다음과 같은 성질을 가진다
- <math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math>
순환 체확장에서의 응용
<math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함하는 체
<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.
<math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
<math>K</math>에 정의된 <math>F</math>-선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성에 의하여 0이 아님을 알 수 있고, 따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다.
<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math> 로 정의되는 수가 중요한 역할을 한다.
<math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 임을 다음과 같이 보일 수 있다.
- <math>\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>
메모
- the Gauss sum is a special case of a general symmetrizing device, the Lagrange resolvent, that has built-in equivaraiance and equation-solving properties that are easier to understand in general than in the confusingly overly-specic context of Gauss sums alone. http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/gslag.pdf
- Garrett, Kummer, Eisenstein, and cyclotomic Lagrange resolvents
관련된 항목들
수학용어번역
- resolvent - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스