라그랑지 resolvent

수학노트
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개요

 

 

정의와 주요 성질

  • \(K/F\) 는 순환체확장
  • \(\text{Gal}(K/F)\) 는 크기가 n인 갈루아 군
  • charater \(\chi : \text{Gal}(K/F) \to F\)와 \(\theta\in K\)에 대하여 라그랑지 resolvent를 다음과 같이 정의함\[R(\theta,\chi)=\sum_{g\in G}\chi(g)g(\theta)\in K\]
  • 중요한 성질
    • (equivariance) 임의의 \(g\in G\) 에 대하여 \(g(R)=\chi(g^{-1})R\)
    • 임의의 \(g\in G\) 에 대하여 \(g(R^n)=R^n\). 따라서 \(R^n\in F\)
  • \(\chi\) 가 character group 의 생성원인 경우,\[\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}R(\theta,\chi^{i})\]
  • 이로부터 \(\theta\in K\) 를 F의 원소의 radical 들의 합으로 표현할 수 있음을 안다


3차 방정식의 근의 공식

  • 방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
  • \(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
  • $u$와 $v$를 다음과 같이 정의하자

\[u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\] \[v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\]

  • $u,v$는 \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있음을 보일 수 있다
  • 이로부터 $x,y,z$를, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있음을 보일 수 있다
  • 근의 공식과 라그랑지 resolvent 참조

 

 

가우스 합의 예

  • 가우스 합 
  • \(a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\[g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}\] 여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/f}\)

  • 다음과 같은 성질을 가진다

\[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\]  

순환 체확장에서의 응용

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함하는 체

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여 0이 아님을 알 수 있고, 따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다. 

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)  로 정의되는 수가 중요한 역할을 한다.

\(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\)  임을 다음과 같이 보일 수 있다.

\[\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\]

 

 

 

 

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