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\mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n}
 
\mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n}
 
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* $\mathcal{H}_1$는 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 유사 모듈라 형식(mock modular form) 으로 만들 수 있다
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* $\mathcal{H}_1$에 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 비해석적 모듈라 형식(non-holomorphic modular form) $F$를 얻을 수 있다
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:<math>F(\tau) = \mathcal{H}_1(\tau) + \frac{1}{16\pi\sqrt{y}}\sum_{n\in Z}\beta(4\pi n^2y)q^{-n^2}</math>
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여기서
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:<math>\displaystyle \beta(t) = \int_t^\infty u^{-3/2} e^{-\pi u} \,du</math>
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* 이는 유사 모듈라 형식(mock modular form)의 이론에서 <math>\Gamma_0(4)</math>에 대한 weight 3/2 harmonic weak Maass 형식의 예이다
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;정리 (Zagier, 1975)
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\left(
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\begin{array}{cc}
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a & b \\
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c & d \\
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\right)\in \Gamma_0(4)$, $\tau\in \mathbb{H}$에 대하여, 다음이 성립한다
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F \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = \left(\frac{c}{d}\right) \left(\frac{-1}{d}\right)^{1/2}(c\tau +d)^{3/2} F(\tau)
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==테이블==
 
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2015년 6월 15일 (월) 19:44 판

개요

  • $\mathcal{Q}_d$는 $-d=b^2-4ac$를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q=[a,b,c]=ax^2+2bxy+cy^2$의 집합
  • 모듈라군 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$은 $\mathcal{Q}_d$에 작용
  • 각각의 $Q$에 대하여, 자기동형군 $\Gamma_{Q}$을 생각, $w_{Q}=|\Gamma_{Q}|$
    • $w_Q=2$ if $Q\sim [a,0,a]$
    • $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
    • 다른 경우 $w_Q=1$
  • 후르비츠-크로네커 수를 다음과 같이 정의

\[H(d):=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}\]

예

$d=3$

  • $Q=x^2+xy+y^2$, $w_Q=3$

$d=4$

  • $Q=x^2+y^2$, $w_Q=2$

$d=12$

  • \(Q=3x^2+y^2\),$w_Q=1$
  • \(Q=2x^2+2xy+2y^2\), $w_Q=3$

$d=15$

  • \(Q=x^2+xy+4y^2\), $w_Q=1$
  • \(Q=2x^2+xy+2y^2\), $w_Q=1$


후르비츠-크로네커 유수

\[ H(3)=\frac{1}{3}\\ H(4)=\frac{1}{2}\\ H(12)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\\ H(15)=2\]

생성함수

  • 다음과 같이 생성함수를 정의하자

$$ \mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n} $$

  • $\mathcal{H}_1$에 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 비해석적 모듈라 형식(non-holomorphic modular form) $F$를 얻을 수 있다

\[F(\tau) = \mathcal{H}_1(\tau) + \frac{1}{16\pi\sqrt{y}}\sum_{n\in Z}\beta(4\pi n^2y)q^{-n^2}\] 여기서 \[\displaystyle \beta(t) = \int_t^\infty u^{-3/2} e^{-\pi u} \,du\]

  • 이는 유사 모듈라 형식(mock modular form)의 이론에서 \(\Gamma_0(4)\)에 대한 weight 3/2 harmonic weak Maass 형식의 예이다
정리 (Zagier, 1975)

$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in \Gamma_0(4)$, $\tau\in \mathbb{H}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ F \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = \left(\frac{c}{d}\right) \left(\frac{-1}{d}\right)^{1/2}(c\tau +d)^{3/2} F(\tau) $$

테이블

\begin{array}{c|c} d & 12H(d) \\ \hline 0 & -1 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 7 & 12 \\ 8 & 12 \\ 11 & 12 \\ 12 & 16 \\ 15 & 24 \\ 16 & 18 \\ 19 & 12 \\ 20 & 24 \\ 23 & 36 \\ 24 & 24 \\ 27 & 16 \\ 28 & 24 \\ 31 & 36 \\ 32 & 36 \\ 35 & 24 \\ 36 & 30 \\ 39 & 48 \\ 40 & 24 \\ 43 & 12 \\ 44 & 48 \\ 47 & 60 \\ 48 & 40 \\ \end{array}


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