"극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타"의 두 판 사이의 차이

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<math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math> 의 증명
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먼저 몇 개의 부등식을 보자.
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<math>\delta=\frac{\epsilon}{2}</math> 로 두자.
  
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<math>\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math>라 가정하자.
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<math>|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2}</math> 이면, <math>|\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon</math>
  
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(1) <math>|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math>  => <math>|x-3|<\delta</math>
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<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math>이 성립한다. ■
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(2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math>
 
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(3) <math>|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta</math>
 
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(4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다.
 
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<math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자.
 
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위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 <math>|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon</math> 이 성립한다.
 
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부등식 (4) 에서 <math>|x-1|>2-\delta\geq 1</math> 이므로, <math>\frac{1}{|x-1|}<1</math>이다.
 
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<math>|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon</math>
 
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그러므로,
 
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<math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■
 
  
 
 
 
 

2012년 8월 25일 (토) 14:38 판

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개요

 

 

 

예

\(\lim_{x\to 0} x^2=0\) 의 증명

(증명)

\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)라 두자.

\(0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)이면,

\(|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon\) 이다.

따라서 \(\lim_{x\to 0} x^2=0\)이 성립한다. ■

 

 

예

\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\) 의 증명

 

(증명)

먼저 몇 개의 부등식을 보자.

\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.

(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)  => \(|x-3|<\delta\)

(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)

(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)

(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.

 

\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.

위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.

부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.

\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)

그러므로,

\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■

 

 

예

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\) 의 증명

 

(증명)

\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 로 두자.

\(|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 이면, \(|\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon\)

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\)이 성립한다. ■

 

 

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