"바이어슈트라스 시그마 함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 3월 2일 (금) 10:48 판

바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
사인함수와 비슷한 역할을 함
격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수
\(\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\)
격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함

z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다
\(\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\)

\(\sigma(z+\omega_{i})=e^{\eta_{i}z}\sigma(\omega_{i})\sigma_{i}(z)\)

\(\sigma(z+2\omega_{i})=-e^{2\eta_{i}(z+\omega_{i})}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+2n\omega_{i})=(-1)^n e^{2\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i})}\sigma(z)\)

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다

\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)

(증명)

\(f(z+2\omega_{i})=f(z)\)

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 * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]<br><math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math><br>
 *  덧셈공식<br><math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math><br>
+<math>\sigma(z+\omega_{i})=e^{\eta_{i}z}\sigma(\omega_{i})\sigma_{i}(z)</math>
+<math>\sigma(z+2\omega_{i})=-e^{2\eta_{i}(z+\omega_{i})}\sigma(z)</math>
+<math>\sigma(z+2n\omega_{i})=(-1)^n e^{2\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i})}\sigma(z)</math>
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 <math>f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}</math>
-<math>\sigma_{i}(z)</math> 를 <math>\sigma(z+\omega_{i})=e^{\eta_{i}z}\sigma(\omega_{i})\sigma_{i}(z)</math> 로 정의
+(증명)
+<math>f(z+2\omega_{i})=f(z)</math>
-<math>\sigma(z+\omega_{i})=e^{\eta_{i}z}\sigma(\omega_{i})\sigma_{i}(z)</math>