밀그램의 정리
개요
- 정수계수 이차형식의 부호수 (signature)와 가우스 합 불변량의 관계
- $(L,q)$ : 정수계수 이차형식, 즉, 비퇴화된 대칭 겹선형 형식
$$ \langle , \rangle : L\times L\to \mathbb{Z} $$ 이 주어진 free $\mathbb{Z}$-module of finite rank
- 판별식 형식
$$ \begin{aligned} q:&L^{*}/L&\to& \mathbb{Q}/2\mathbb{Z}\\ &x&\mapsto& q(x)=\langle x,x \rangle \pmod{2\mathbb{Z}} \end{aligned} $$
- 실계수 이차형식 $L\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$의 양의 고유값의 개수를 $s_{+}$, 음의 고유값의 개수를 $s_{-}$라 두자
- 부호수는 $\operatorname{sign}(L):=s_{+}-s_{-}$로 정의
- 정리 (밀그램)
$$ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4} $$
예
1차원 격자
- 짝수인 자연수 $N$에 대하여, 1차원 격자 $L=(\mathbb{Z},Nx^2)$와 쌍대 $L^{*}=(\frac{1}{N}\mathbb{Z},Nx^2)$ 를 생각하자
$$ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i N(\frac{k}{N})^2}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i k^2/N}=\frac{1}{\sqrt{N}}S(1,N) $$ 여기서 \[S(c,d)=\sum_{r=0}^{d-1} e^{\pi i cr^2/d}\]
- 밀그램의 정리에 의해 다음을 얻는다
$$S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N}$$
- 한편, $c=1,d=N$이라 두고, $S(c,d)$에 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)를 적용하면 다음을 얻는다
\[\sqrt{N}\overline{S(N,1)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{1}S(1,N)\] 따라서 $$ S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N} $$
$G_2$
- \(G_2\) 루트 시스템 \(\mathbb{R}^2\), 리대수 g2의 유한차원 표현론 항목 참조
- \(\alpha_1=(\sqrt{2},0)\)
- \(\alpha_2=(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\)
- 이를 기저로 하는 정수계수 이차형식 $L$을 얻는다
- 쌍대기저 $L^{*}$
$$ \beta_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\\ \beta_2=(0,\sqrt{2}/\sqrt{3}) $$
- 다음을 얻는다
$$ \alpha_1=2\beta_1-3\beta_2\\ \alpha_2=-3\beta_1+6\beta_2 $$
- 따라서 $|L^{*}/L|=3$이고 $L^{*}/L=\{0,\beta_2,2\beta_2\}$
- $q(\beta_2)=2/3,q(2\beta_2)=8/3$
- $\operatorname{sign}(L)=2$
$$ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+e^{\frac{2 i \pi }{3}}+e^{\frac{2 i \pi }{3}})=i $$ $$ e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4}=i $$
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- signature - 대한수학회 수학용어집