밀그램의 정리
개요
- 정수계수 이차형식의 부호수 (signature)와 가우스 합 불변량의 관계
- \((L,q)\) : 정수계수 이차형식, 즉, 비퇴화된 대칭 겹선형 형식
\[ \langle , \rangle : L\times L\to \mathbb{Z} \] 이 주어진 free \(\mathbb{Z}\)-module of finite rank
- 판별식 형식
\[ \begin{aligned} q:&L^{*}/L&\to& \mathbb{Q}/2\mathbb{Z}\\ &x&\mapsto& q(x)=\langle x,x \rangle \pmod{2\mathbb{Z}} \end{aligned} \]
- 실계수 이차형식 \(L\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}\)의 양의 고유값의 개수를 \(s_{+}\), 음의 고유값의 개수를 \(s_{-}\)라 두자
- 부호수는 \(\operatorname{sign}(L):=s_{+}-s_{-}\)로 정의
- 정리 (밀그램)
\[ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4} \]
예
1차원 격자
- 짝수인 자연수 \(N\)에 대하여, 1차원 격자 \(L=(\mathbb{Z},Nx^2)\)와 쌍대 \(L^{*}=(\frac{1}{N}\mathbb{Z},Nx^2)\) 를 생각하자
\[ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i N(\frac{k}{N})^2}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i k^2/N}=\frac{1}{\sqrt{N}}S(1,N) \] 여기서 \[S(c,d)=\sum_{r=0}^{d-1} e^{\pi i cr^2/d}\]
- 밀그램의 정리에 의해 다음을 얻는다
\[S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N}\]
- 한편, \(c=1,d=N\)이라 두고, \(S(c,d)\)에 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)를 적용하면 다음을 얻는다
\[\sqrt{N}\overline{S(N,1)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{1}S(1,N)\] 따라서 \[ S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N} \]
\(G_2\)
- \(G_2\) 루트 시스템 \(\mathbb{R}^2\), 리대수 g2의 유한차원 표현론 항목 참조
- \(\alpha_1=(\sqrt{2},0)\)
- \(\alpha_2=(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\)
- 이를 기저로 하는 정수계수 이차형식 \(L\)을 얻는다
- 쌍대기저 \(L^{*}\)
\[ \beta_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\\ \beta_2=(0,\sqrt{2}/\sqrt{3}) \]
- 다음을 얻는다
\[ \alpha_1=2\beta_1-3\beta_2\\ \alpha_2=-3\beta_1+6\beta_2 \]
- 따라서 \(|L^{*}/L|=3\)이고 \(L^{*}/L=\{0,\beta_2,2\beta_2\}\)
- \(q(\beta_2)=2/3,q(2\beta_2)=8/3\)
- \(\operatorname{sign}(L)=2\)
\[ \frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+e^{\frac{2 i \pi }{3}}+e^{\frac{2 i \pi }{3}})=i \] \[ e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4}=i \]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- signature - 대한수학회 수학용어집