밀그램의 정리

개요

• 정수계수 이차형식의 부호수 (signature)와 가우스 합 불변량의 관계
• $(L,q)$ : 정수계수 이차형식, 즉, 비퇴화된 대칭 겹선형 형식

$$ \langle , \rangle : L\times L\to \mathbb{Z} $$ 이 주어진 free $\mathbb{Z}$-module of finite rank

• 판별식 형식

$$ \begin{aligned} q:&L^{*}/L&\to& \mathbb{Q}/2\mathbb{Z}\\ &x&\mapsto& q(x)=\langle x,x \rangle \pmod{2\mathbb{Z}} \end{aligned} $$

• 실계수 이차형식 $L\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$의 부호수를 정의할 수 있으며, 양의 고유값의 개수를 $s_{+}$, 음의 고유값의 개수를 $s_{-}$라 두자
• 부호수는 $\operatorname{sign}(L):=s_{+}-s_{-}$로 정의

정리 (밀그램)

$$ \frac{1}{|L^{*}/L|}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4} $$

예

$G_2$

• \(G_2\) 루트 시스템 \(\mathbb{R}^2\), 리대수 g2의 유한차원 표현론 항목 참조
  • \(\alpha_1=(\sqrt{2},0)\)
  • \(\alpha_2=(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\)
• 이를 기저로 하는 정수계수 이차형식 $L$을 얻는다
• 쌍대기저 $L^{*}$

$$ \beta_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\\ \beta_2=(0,\sqrt{2}/\sqrt{3}) $$

• 다음을 얻는다

$$ \alpha_1=2\beta_1-3\beta_2\\ \alpha_2=-3\beta_1+6\beta_2 $$

• 따라서 $|L^{*}/L|=3$이고 $L^{*}/L=\{0,\beta_2,2\beta_2\}$
• $q(\beta_2)=2/3,q(2\beta_2)=8/3$
• $\operatorname{sign}(L)=2$

$$ \frac{1}{|L^{*}/L|}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+e^{\frac{2 i \pi }{3}}+e^{\frac{2 i \pi }{3}})=i $$ $$ e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4}=i $$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUtBNktlTEsyRjA/edit

사전 형태의 자료

• signature - 대한수학회 수학용어집