가해군(solvable group)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 3일 (수) 17:06 판
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개요


 

 

정의
  • 부분군으로 이루어진 타워
    \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots G_m\)
  • 유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다
    (1) \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}\)
    (2) \(G_i/G_{i+1}\)는 순환군

 

 

거듭제곱근 체확장과의 관계

 

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자

  • \(F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K\) 
    자연수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)
  • 이 체확장의 타워로부터 \(G=\text{Gal}(K/F)\)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
    \(G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}\)
    \(G_i=\text{Gal}(K/F_{i})\)로 두자
  • 갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다
    \(G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}\)
  • 따라서 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이 된다

 

 

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