갈루아 이론

수학노트
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개요

  • 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
  • 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
  • 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
  • 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
  • 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음



근의 공식



풀수 있는 방정식

  • 정오각형 항목에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
  • 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
    • 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
    • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.



근의 치환



다항식과 갈루아체확장

  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨



체확장과 갈루아군

  • 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
    • \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
    • 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
  • 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
    • 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
    • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
    • \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다




방정식의 해가 가진 대칭성

  • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
    • \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
  • 이것을 일반화할 수 있음


정리

주어진 체 \(F\)의 원소를 계수로 갖는 기약다항식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\)의 모든 해 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)를 모두 추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)을 생각하자. $f$의 해 $\alpha\in K$와 갈루아군 \(\operatorname{Gal}(K/F)\)의 원소 $\sigma$에 대하여 \(\sigma(\alpha)\)도 $f$의 해가 된다.



  • 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
  • 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\ \hline \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\ \hline \omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\ \end{array} $$

  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
  • 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
    • 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
    • \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
    • 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
    • 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
  • 요약
    • 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
    • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.



갈루아 체확장



5차방정식에의 응용

  • 다항식 \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)은 유리수체 위에서 5차의 기약다항식이다
  • 두 개의 허근과 세 개의 실근이 존재
  • 이는 갈루아 군이 \(S_5\)임을 의미


역사



메모

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