극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타
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개요
예
\(\lim_{x\to 0} x^2=0\) 의 증명
(증명)
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)라 두자.
\(0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)이면,
\(|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon\) 이다.
따라서 \(\lim_{x\to 0} x^2=0\)이 성립한다. ■
예
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\) 의 증명
(증명)
먼저 몇 개의 부등식을 보자.
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.
(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)
(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)
(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)
(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.
위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.
부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.
\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)
그러므로,
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■
예
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\) 의 증명
(증명)
먼저 몇 개의 부등식을 보자.
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.
(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)
(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)
(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)
(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.
위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.
부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.
\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)
그러므로,
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■
역사
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- http://en.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definition_of_limit
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
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