거듭제곱 텐서곱의 분해
개요
- 복소수체 위의 유한차원 벡터공간 \(V\)에 대한 거듭제곱 텐서곱 \(V^{\otimes d}\)을 \(GL(V)\)의 기약표현으로 분해하는 문제
- 대칭군 \(S_d\)가 \(V^{\otimes d}\)에 작용함을 이용
- \(d\)의 분할 \(\lambda\)에 대하여 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer), \(c_{\lambda}\in \mathbb{C}S_n\)를 구성
- 각 \(\lambda\)에 대하여, 벡터공간 \(S_{\lambda}V :=\operatorname{Im}(c_{\lambda}|_{V^{\otimes d}})\)는 \(GL(V)\)의 기약표현이 된다
예
\(d=2\)
- \(f(x,y)\)는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다
\[ \begin{array}{l} \frac{1}{2} (f(x,y)+f(y,x)) \\ \frac{1}{2} (f(x,y)-f(y,x)) \end{array} \]
- 이와 비슷한 현상들이 수학에서 종종 나타난다
- 임의의 \(n\times n\) 행렬 \(A\)는 대칭행렬과 왜대칭행렬의 합으로 표현된다
\[ A=\left(\frac{A+A^t}{2}\right)+\left(\frac{A-A^t}{2}\right) \]
- 임의의 함수 \(f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\)은 우함수와 기함수의 합으로 표현된다
\[ f(x)=\left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)+\left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right) \]
\(d=3\)
- \(f(x,y,z)\)는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다
\[ \begin{array}{l} \frac{1}{6} (f(x,y,z)+f(x,z,y)+f(y,x,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)+f(z,y,x)) \\ \frac{1}{3} (f(x,y,z)-f(y,x,z)-f(y,z,x)+f(z,y,x)) \\ \frac{1}{3} (f(x,y,z)+f(y,x,z)-f(z,x,y)-f(z,y,x)) \\ \frac{1}{6} (f(x,y,z)-f(x,z,y)-f(y,x,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)-f(z,y,x)) \end{array} \]
\(d=4\)
- \(f(x,y,z,w)\)는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다
\[ \begin{array}{l} \frac{1}{24} (f(w,x,y,z)+f(w,x,z,y)+f(w,y,x,z)+\langle\langle 18\rangle\rangle +f(z,x,y,w)+f(z,y,w,x)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,y,x,z)+f(w,y,z,x)+f(x,y,w,z)+\langle\langle 13\rangle\rangle +f(z,y,w,x)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,z,y)+f(w,y,z,x)+f(x,w,z,y)+\langle\langle 15\rangle\rangle ) \\ \frac{1}{8} (\langle\langle 14\rangle\rangle +f(y,z,x,w)+f(z,x,y,w)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{12} (f(w,x,y,z)-f(w,x,z,y)-f(w,z,x,y)+\langle\langle 18\rangle\rangle +f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{12} (-f(w,x,y,z)-f(w,y,x,z)+f(w,z,x,y)+\langle\langle 14\rangle\rangle +f(z,w,y,x)-f(z,x,y,w)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,y,z,x)-f(w,z,y,x)+\langle\langle 10\rangle\rangle +f(z,x,y,w)-f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,z,y)-f(w,y,x,z)-f(w,y,z,x)+\langle\langle 12\rangle\rangle +f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,y,z)-f(w,x,z,y)+\langle\langle 12\rangle\rangle +f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{24} (-f(w,x,y,z)+f(w,x,z,y)+\langle\langle 29\rangle\rangle +f(z,x,y,w)+f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \end{array} \]