고전 단순 조화 진동자
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개요
- 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
- 질량 <math>m</math>, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자
- 용수철 상수가 <math>\kappa</math>로 주어지는 경우, <math>\omega^2=\kappa/m</math>의 관계가 성립
- 해밀토니안
- <math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math>
- 해밀턴 방정식
- <math>
\left\{ \begin{array}{c} \dot{q}&=\partial H/\partial p&=\frac{p}{m} \\ \dot{p}&=-\partial H/\partial q&=-m\omega^{2}q \end{array} \right. </math>
- 운동방정식
- <math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math>
- <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math>
- 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>
작용-각 변수
- http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
- 작용 변수 <math>I(q,p)=\frac{1}{2} \left(\frac{p^2}{m \omega }+m q^2 \omega \right)</math>, 각 변수 <math>\theta(q,p)=\tan ^{-1}\left(\frac{p}{m q \omega }\right)</math>
- 해밀토니안은 <math>H=\omega I</math>로 쓰여지며, 따라서
- <math>
\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega </math>
- 다음을 얻는다
- <math>\theta = \omega t+\theta_0</math>
메모
- Jabbari, I., A. Jahan, and Z. Riazi. ‘Partition Function of the Harmonic Oscillator on a Noncommutative Plane’. arXiv:1201.0827 [hep-Th], 4 January 2012. http://arxiv.org/abs/1201.0827.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스