고전 단순 조화 진동자

개요

• 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
• 질량 $m$, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
• 해밀토니안

\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]

• 해밀턴 방정식

\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\] \[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]

• 운동방정식

\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] \[\ddot{q}+\omega^{2} q=0\]

• 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)

작용-각 변수

• http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
• 작용 변수 \(I\), 각 변수 \(\theta\)
• 해밀토니안은 \(H=\omega I\)로 쓰여지며, 따라서

\[ \partial H/\partial I=\omega\\ \dot{\theta}=\omega \]

• 따라서

\[\theta = \omega t+\theta_0\]

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/조화_진동