고전 단순 조화 진동자
개요
- 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
- 질량 $m$, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안
\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식
\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\] \[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식
\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] \[\ddot{q}+\omega^{2} q=0\]
- 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
작용-각 변수
- http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
- 작용 변수 \(I(q,p)=\frac{1}{2} \left(\frac{p^2}{m \omega }+m q^2 \omega \right)\), 각 변수 \(\theta(q,p)=\tan ^{-1}\left(\frac{p}{m q \omega }\right)\)
- 해밀토니안은 \(H=\omega I\)로 쓰여지며, 따라서
\[ \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \]
- 다음을 얻는다
\[\theta = \omega t+\theta_0\]