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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단위구면의 라플라시안</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단위구면의 라플라시안</h5> | ||
| − | * [[구면(sphere)]], [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta_{S^2} f = | + | * [[구면(sphere)]], [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br> |
| − | * 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math><br><math>\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}</math><br> | + | * 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math> 이다<br><math>\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}</math><br> |
2012년 1월 24일 (화) 10:58 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함
- SO(3) 의 \(L^2(S^2)\) 에서의 표현론으로 이해
- 양자역학에서 원자모형을 이해하는데 중요한 역할
정의
- \(l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(-l \leq m \leq l\)에 대하여, \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)
- 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials) 을 통해서 정의됨
\(Y_l^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2l+1)/(4\pi )}\sqrt{(l-m)!/(l+m)!}P_l^m(\cos (\theta ))e^{im\phi }\)
예
- l=0
\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{2 \sqrt{\pi }} \end{array} \right)\)
- l=1
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ) \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \end{array} \right)\)
- l=2
\(\left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \\ 2 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 2 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \end{array} \right)\)
- l=3
\(\left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{-3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \\ 3 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & -1 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right) \\ 3 & 1 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & 3 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \end{array} \right)\)
내적
\(\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi }Y_l^m(\theta ,\phi ){}^*Y_L^M(\theta ,\phi ) \sin (\theta )d\theta d\phi =\delta _{l,L}\delta _{m,M}.\)
단위구면의 라플라시안
- 구면(sphere), 라플라시안(Laplacian)
\(\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}\) - 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\) 이다
\(\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/구면조화함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_harmonics
- http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=spherical+harmonics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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