"구면조화함수(spherical harmonics)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjBjMTdjYTctZjA0NS00NGI0LThlZjEtMjZjMmU0ODRmOGY5&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjBjMTdjYTctZjA0NS00NGI0LThlZjEtMjZjMmU0ODRmOGY5&sort=name&layout=list&num=50
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
==수학용어번역==
 
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=spherical+harmonics
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 

2013년 3월 9일 (토) 11:43 판

개요

  • 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함
  • 3차원 회전군 SO(3)의  \(L^2(S^2)\) 에서의 표현론으로 이해
  • 양자역학에서 원자모형을 이해하는데 중요한 역할

 

 

정의

  • \(l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(-l \leq m \leq l\)에 대하여, \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)
  • 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials) 을 통해서 다음과 같이 정의됨 \[Y_l^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2l+1)/(4\pi )}\sqrt{(l-m)!/(l+m)!}P_l^m(\cos (\theta ))e^{im\phi }\]

 

 

 

테이블

  • l=0

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{2 \sqrt{\pi }} \end{array} \right)\)

  • l=1

\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ) \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \end{array} \right)\)

  • l=2

\(\left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \\ 2 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 2 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \end{array} \right)\)

  • l=3

\(\left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{-3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \\ 3 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & -1 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right) \\ 3 & 1 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & 3 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \end{array} \right)\)

 

 

내적

\(\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi }Y_l^m(\theta ,\phi ){}^*Y_L^M(\theta ,\phi ) \sin (\theta )d\theta d\phi =\delta _{l,L}\delta _{m,M}.\)

 

 

단위구면의 라플라시안

  • 구면(sphere), 라플라시안(Laplacian)\[\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}\]
  • 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\) 이다\[\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}\]

 

 

각운동량 연산자

 

여기서

\(L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\)

\(L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\)

 

 

  • \(l=3,m=1\) 인 경우\[Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)\]
  • \(L^2 Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=12\hbar^2Y_{3}^{1}\)
  • \(L_{z}Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=\hbar Y_{3}^{1}\)

 

3-j 기호(3-j symbols)의 관계

\[ \begin{align} & {} \quad \int Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3}^{m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\ & = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \end{align} \]

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료