극좌표계
개요
- 극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때
- <math>x = r \cos \theta</math>
- <math>y = r \sin \theta</math>
좌표계의 변환
<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
<math>\theta=\arctan{\frac{y}{x}}</math>
여기서 <math>\arctan{x}</math> 는 <math>\tan{x}</math> 의 역함수.
길이소
- <math>ds^2= dr^2 +r^2 d \theta^2</math>
넓이소
- <math> dA = dxdy = rdrd\theta</math>
1. 그림으로 이해하기
[[파일:4594197-cartesian.jpg] [/pages/4594197/attachments/2515179 polar_copy.jpg]]
큰 그림은 여기서 보자.
그림에서 근사 기호가 아니라 등호가 사용된 데에 대해 의문을 가질 수도 있겠다. 하지만, 간격 <math>dr</math>, <math>d\theta</math> 가 굉장히 작아지면 이 오차는 의미가 없게 된다.
2. 야코비안
<math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r</math>
<math>dA=J \,dr \,d\theta = r\,dr\,d\theta</math>
라플라시안
- 라플라시안(Laplacian):<math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math>
- <math>\frac{\partial}{\partial x}=\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}</math>
- <math>\frac{\partial}{\partial y}=\sin\theta \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}</math>
- http://banach.millersville.edu/~bob/math467/Laplacian.pdf
- http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/07/275-the-laplacian-in-polar-coordinates/
메모
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWEsycjJvakRRNFk/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록