내적공간

수학노트
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개요

  • 2,3차원 유클리드 공간에서 정의된 벡터의 내적의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한 개념
  • 실수 또는 복소수 위에 정의된 벡터공간에서 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 개념을 제공

 

 

정의

  • 내적 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)은 다음과 같은 성질들을 만족시키는 함수 \(\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}\)이다.
  • bilinearity (sesquilinearity)
    • \(\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle\)
    • \(\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle\)
  • 대칭성(symmetricity)
    • \(\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}\)
  • 양정부호(positive definiteness)
    • \(\langle x,x\rangle \geq 0\)이고 \(\langle x,x\rangle = 0\)이면 \(x=0\)
  • 실벡터공간의 내적은 positive definite symmetric bilinear form


 

내적공간의 예

  • 구간 \([a,b]\)에서 정의된 연속함수들의 집합은 벡터공간을 이룬다
  • 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다\[\langle f,g\rangle=\int_a^{b}f(x)g(x)\,dx\]

 

메모

  • Let $(V,\langle −,−\rangle)$ be a finite-dimensional real inner product space

 

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