다이감마 함수(digamma function)

이 항목의 스프링노트 원문주소

• digamma 함수
  

 

 

개요

• 감마함수의 로그미분으로 정의
  

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

• 차분방정식의 공부에서 자연스럽게 등장함.
  

 

 

차분방정식과의 관계

\(\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}\)

 

반사공식

• 감마함수의 반사공식
  \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  
• 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
  

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

 

 

덧셈공식

\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\) 의 로그미분을 통해서 다음을 얻을 수 있음.

\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\)

 

 

가우스의 Digamma 정리

 

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

 

 

special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
• http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich
  
  • Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• Methods of Summation

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

 

블로그

• 구글 블로그 검색
  
  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
• 네이버 오늘의과학
• 수학동아
• Mathematical Moments from the AMS
• BetterExplained