다이로그 함수의 special value 계산
개요
special value의 계산
<math>\mbox{Li}_{2}(-1)</math> 의 계산
반전공식에 <math>x=-1</math> 을 대입하여 얻을 수 있다.
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})</math> 의 계산
오일러의 반사공식에서 <math>x=\frac{1}{2}</math> 를 대입하여 얻을 수 있다.
또는
<math>\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math> 와
<math>\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
를 이용하여 보일 수 있다.
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math> 과 <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
오일러의 반사공식에 <math>x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math>
란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.
<math>\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2</math>
여기에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
<math>\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다.
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
제곱공식<math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math> 에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> 를 대입하면,
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))</math> 를 얻는다.
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
반전공식에 <math>x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math>를 대입하면, <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> 를 얻는다.
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