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* 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 '''[RAM1914]'''<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br> | * 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 '''[RAM1914]'''<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br> | ||
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* [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]], [[타원적분]] 참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br> | * [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]], [[타원적분]] 참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br> | ||
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* 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식<br> <math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math> ([[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]])<br> | * 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식<br> <math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math> ([[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]])<br> | ||
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* 아래의 prop, thm 번호는 '''[BB1998] '''참조 | * 아래의 prop, thm 번호는 '''[BB1998] '''참조 | ||
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* [[라마누잔의 class invariants]] | * [[라마누잔의 class invariants]] | ||
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* <math>e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots</math> | * <math>e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots</math> | ||
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* Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula<br> | * Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula<br> | ||
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]] | * [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]] | ||
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzQzNzVlZDAtZTgwZi00YWNiLWI3M2YtNTBkNDEzYjIyN2I4&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzQzNzVlZDAtZTgwZi00YWNiLWI3M2YtNTBkNDEzYjIyN2I4&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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* '''[BB1998]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br> | * '''[BB1998]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br> | ||
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| − | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트 | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== |
* J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey [http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi] | * J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey [http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi] | ||
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| − | ==관련논문[http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/Notebooks/CalculatingPi.html ] | + | ==관련논문[http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/Notebooks/CalculatingPi.html ]== |
* [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4PW5XTP-8&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=07a10c67e340156fe912e39d39c0330a Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions]<br> | * [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4PW5XTP-8&_user=4420&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000059607&_version=1&_urlVersion=0&_userid=4420&md5=07a10c67e340156fe912e39d39c0330a Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions]<br> | ||
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* The Mountains of Pi<br> | * The Mountains of Pi<br> | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:33 판
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개요
- 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 [RAM1914]
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
- Chudnovsky 형제 [CHU88]
\(\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\)
정의와 미리 알아야 할 것들
- 자코비 세타함수, 라마누잔의 class invariants, 타원적분 참조
\(q=e^{2\pi i \tau}\)
\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)
\(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)
\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)
\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)
\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)
\(K'(k) = K(k')\)
\(E'(k) = E(k')\)
- 위의 함수들을 이용하여, 양수 \(r\)에 대하여 다음을 정의
\(\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})\)
\(\alpha(r):=\frac{E'}{K}-\frac{\pi}{4K^2}\)
- 라마누잔의 class invariants
\(g_n:=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
singular value function
- 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식
\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\) (AGM과 파이값의 계산)
- 타원적분의 성질
\(K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))\)
- 위의 둘을 사용하여 다음을 얻는다
\(\alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)\)
- 여기에 타원적분이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}\)
을 사용하면
\(\alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)\)
를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면
\(\frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}\)
- \([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =m(k)F(y(k))\) 꼴로 쓰여질때, 양변을 미분하면 다음을 얻는다
\(\frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)\)
- 초기하급수를 다음과 같이 쓰면
\(F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\)
- \(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty a_n[\frac{\sqrt{N}}{2}k{k'}^2\.m+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]m+\frac{n\sqrt{N}}{2}m\frac{\.y}{y}kk'^2]y^n\)
라마누잔 파이 공식의 유도
- 아래의 prop, thm 번호는 [BB1998] 참조
- 초기하급수(Hypergeometric series) 항목의 Clausen 항등식이 중요하게 사용됨
- prop 5.6
\(\frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)\)
\([\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)\)
- prop 5.7
\(K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k)\) if \(2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}\)
- Thm 5.6
\(\frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
- Thm 5.7
\([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
- (5.5.16)
\(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}\)
\(x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}\)
\(d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})\)
- \(N=58\) 일 때
\(x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}\), \(d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2\) 이므로 다음을 얻는다
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
라마누잔의 class invariants
- 라마누잔의 class invariants
- \(g_{58}^2=\frac{\sqrt{29}+5}{2}\)
재미있는 사실
- \(e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots\)
- \(\frac{6}{5}{\phi}^2\approx{\pi}\)
역사
- Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula
- \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
- William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \(\pi\).
- 수학사연표
관련된 항목들
- AGM과 파이값의 계산
- 타원함수
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 초기하급수(Hypergeometric series)
- 타원적분
- 숫자 163
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzQzNzVlZDAtZTgwZi00YWNiLWI3M2YtNTBkNDEzYjIyN2I4&sort=name&layout=list&num=50
- http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/Notebooks/CalculatingPi.html
- http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/06/01/02/0001/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+representation+of+pi
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련도서
- [BB1998]Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)
- 도서내검색
- 도서검색
사전 형태의 자료==
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi
관련논문[1]
- Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions
- Nayandeep Deka Baruaha, and Bruce C. Berndt, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 341, Issue 1, 2007
- A WZ Proof of Ramanujan's Formula for Pi
- Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger, `Geometry, Analysis, and Mechanics', ed. by J.M. Rassias, World Scientific, Singapore, 1994, 107-108.
- Class number three Ramanujan type series for 1/pi
- J. M. Borwein ,P. B. Borwein, Journal of Computational and Applied Mathematics (Vol.46 NO.1 / 1993)
- Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 201-219
- [CHU88]Approximations and complex multiplication according to Ramanujan
- D. V. Chudnovsky and G. V. Chudnovsky, Ramanujan Revisited, Academic Press Inc., Boston, (1988), p. 375-396 & p. 468-472.
- Explicit Ramanujan-type approximations to pi of high order
- J. M. Borwein, P. B. Borwein, 1987
- [RAM1914]Modular equations and approximations to Pi
- S. Ramanujan, Quart. J. Pure Appl. Math., (1914), vol. 45, p. 350-372
관련기사
- The Mountains of Pi
- The New Yorker, 1992-3-2
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=라마누잔
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이
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- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
\(q=e^{2\pi i \tau}\)
\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)
\(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)
\(g_n:=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\) (AGM과 파이값의 계산)
\(K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))\)
\(\alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)\)
\(\frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}\)
을 사용하면
\(\alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)\)
를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면
\(\frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}\)
\(\frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)\)
\(F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\)
\(\frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)\)
\([\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)\)
\(K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k)\) if \(2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}\)
\(\frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
\([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
\(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}\)
\(x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}\)
\(d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})\)
\(x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}\), \(d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2\) 이므로 다음을 얻는다
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to compute One Billion Digits of Pi
관련논문[1]
- Ramanujan's series for 1/π arising from his cubic and quartic theories of elliptic functions
- Nayandeep Deka Baruaha, and Bruce C. Berndt, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 341, Issue 1, 2007
- A WZ Proof of Ramanujan's Formula for Pi
- Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger, `Geometry, Analysis, and Mechanics', ed. by J.M. Rassias, World Scientific, Singapore, 1994, 107-108.
- Class number three Ramanujan type series for 1/pi
- J. M. Borwein ,P. B. Borwein, Journal of Computational and Applied Mathematics (Vol.46 NO.1 / 1993)
- Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 201-219
- [CHU88]Approximations and complex multiplication according to Ramanujan
- D. V. Chudnovsky and G. V. Chudnovsky, Ramanujan Revisited, Academic Press Inc., Boston, (1988), p. 375-396 & p. 468-472.
- Explicit Ramanujan-type approximations to pi of high order
- J. M. Borwein, P. B. Borwein, 1987
- [RAM1914]Modular equations and approximations to Pi
- S. Ramanujan, Quart. J. Pure Appl. Math., (1914), vol. 45, p. 350-372
관련기사
- The Mountains of Pi
- The New Yorker, 1992-3-2
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=라마누잔
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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