타원함수

수학노트
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개요

  • 이중주기를 갖는 복소함수
  • 타원적분을 이해하려는 시도에서 탄생
  • 19세기 아벨과 자코비에 의해 체계화
  • 주기성을 갖는 삼각함수는 원 위에 정의된 함수로 이해할 수 있듯이, 타원함수는 원환면 (torus) 위에 정의된 함수로 생각할 수 있음.
    • 해석적으로 발전해온 이론에 리만에 의해 기하학적 기초가 놓여짐. 리만곡면론의 탄생으로 이어짐.


타원적분의 역함수

바이어슈트라스의 타원함수




삼각함수와 타원함수

  • 타원함수는 두 세타함수의 비(quotient)로 얻어짐.
  • 이러한 관점에서 \(\sin z\), \(\cos z\) 를 타원함수에 비유할 수 있고, \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\) 를 타원함수에 비유할 수 있음.
  • \(\sin (z+\pi)=-\sin z\), \(\cos (z+\pi)=-\cos z\) 는 \(\chi : \mathbb{Z} \to \{\pm1\}\) 로 주어지는 modular form
    • 타원함수의 무한곱표현과 유사한 \(\sin z\), \(\cos z\) 의 무한곱표현도 있음.
  • 둘의 비를 취함으로써, \(\tan (z+\pi)=\tan z\) 주기함수를 얻는다.


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