삼각함수

수학노트
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개요

  • 중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
  • 주기성을 가지며 삼각함수들 사이에 많은 공식이 성립
  • 삼각비와 삼각함수의 차이에 대해서는 삼각비에서 삼각함수로 항목을 참조
  • 삼각함수는 다양한 관점에서 이해가능하며, 각 관점에 따라 많은 방식으로 일반화된다
  • 삼각함수가 수학에서 차지하는 중요성을 알기 위해서는 삼각함수의 일반화 항목을 참조



배우기 전에 알고 있어야 하는 것들



사인과 코사인

  • 단위원의 방정식\[x^2+y^2=1\]
  • 원 위에서 각도함수 정의하기 작업을 통해 단위원의 각 점에 해당하는 각도 \(\theta\)를 정의할 수 있다
  • 코사인과 사인함수는 각각 각도 \(\theta\)에 해당하는 단위원의 점의 x-좌표와 y-좌표로 정의된다
  • 단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\]


탄젠트와 코탄젠트, 시컨트와 코시컨트

  • \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)






삼각함수의 여러가지 공식들

  • 삼각함수에 공식이 많은 이유는 삼각함수가 단위원의 매개함수로 정의되며, 단위원은 군(group)의 구조를 가지는 다양체이기 때문
    • 군의 개념에 대해서는 군론 항목을 참조
  • 더 자세한 사항은 삼각함수에는 왜 공식이 많은가? 항목을 참조



덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)



배각공식

  • 2배각공식과 3배각 공식

\(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)



삼각함수의 값



삼각함수의 급수 표현

  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.


\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)



쌍곡함수

  • 쌍곡함수 $$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix $$

삼각함수 표




역사



메모

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