쌍곡함수

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요



쌍곡함수의 정의

  • 지수함수 를 사용하여 정의할 수 있다\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]\[\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\]\[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}\]\[\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}\]



항등식

  • \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
  • \(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\)



미분

\((\sinh x)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x\)

\((\cosh x)' = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}=\sinh x\)

\((\tanh x)' = \frac{\cosh^2 x- \sinh^2 x}{\cosh^2 x}=\operatorname{sech}^{2}x\)


덧셈공식

  • \(\cosh \left(\theta _1\right) \cosh \left(\theta _2\right)-\sinh \left(\theta _1\right) \sinh \left(\theta _2\right)=\cosh \left(\theta _1-\theta _2\right)\)



쌍곡함수의 멱급수 표현

  • \(B_n\)은 베르누이수, \(E_n\)은 오일러수
  • 쌍곡함수의 멱급수 표현은 다음과 같다\[\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\]\[\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\]\[\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}\]


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료