로렌츠 변환과 로렌츠 군

수학노트
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개요

  • 로렌츠 변환은 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 등장하는 선형변환이다.
  • 물리학적으로, 로렌츠 변환은 운동상태가 서로 다른 두 관성좌표계 사이의 좌표변환 관계를 기술한다.
  • 수학적으로는 원점이 같은 두 개의 4차원 민코프스키 벡터공간 사이에서 4차원 벡터의 길이를 보존하는 등장변환이다.


로렌츠 변환의 행렬표현

로렌츠 변환의 행렬표현은 다음과 같이 여러가지 방법으로 유도될 수 있다.

  • 민코프스키 메트릭을 표현하는 행렬 $G$를 다음과 같이 정의하자 :

$$G= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) $$

http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#From_group_postulates]


로렌츠 변환의 예

물리학자들이 주로 사용하는 기호의 정의는 다음과 같다.

  • 감마인자(혹은 아인슈타인 감마인자) \[\ \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\]
  • 신속도(rapidity) \[\beta = v/c\]

좌표선택의 임의성을 이용하여 계산의 편의를 추구하고자 특정 축을 기준으로 하는 로렌츠 변환이 실제 계산에서 많이 사용된다.

  • x-축에 대한 boost \[\begin{bmatrix}c t' \\ x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\beta \gamma&0&0\\-\beta \gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z\end{bmatrix}\]

변환 $t'=\left(t-\frac{v x}{c^2}\right) \gamma, x'=(-t v+x) \gamma, y'=y, z'=z$ 을 나타내며 적당한 $\theta\in \mathbb{R}$에 대하여 다음과 같이 표현할 수 있다 $$ \begin{bmatrix}\gamma&-\beta \gamma&0&0\\-\beta \gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cosh (\theta ) & -\sinh (\theta ) & 0 & 0 \\ -\sinh (\theta ) & \cosh (\theta ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix} $$


  • 임의의 축에 대한 boost \[\begin{bmatrix}c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_x^2}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_y}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_z}{\beta^2}\\-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_x}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_y^2}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_z}{\beta^2}\\-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_x}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_y}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_z^2}{\beta^2}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z\end{bmatrix}\]

로렌츠 군

  • 모든 로렌츠 변환의 모임이 형성하는 집합은 군을 이룬다. 로렌츠 군이라 부른다.
  • 로렌츠 군이 기술하는 대칭성을 로렌츠 대칭성이라 부른다. 로렌츠 대칭성은 광속도 불변의 원리와 동치이며, 정확하게는 이보다 더 넓은 의미로 좌표를 변환하여도 물리법칙(방정식)의 의미가 변하지 않는다는 의미를 갖는다.


파동 방정식의 로렌츠 불변성

  • 파동방정식 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 은 로렌츠 변환에 대하여 불변이다.
  • 즉 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 이면, \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } \) 이 성립한다. 여기서 \[\left( \begin{array}{c} x' \\ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ c t \end{array} \right),\] \[u'(x',t')=u(x,t)\]
  • 파동 방정식 항목 참조


푸앵카레 변환과 푸앵카레 군

로렌츠 변환은 원점을 옮기지 않는 선형변환이다. 로렌츠 변환을 한 다음 원점을 옮기는 평행이동을 취하게 되면 아핀변환이 된다. 이 변환을 푸앵카레 변환이라 부른다.

  • 임의의 푸앵카레 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (아인슈타인 총합규약이 적용되었다.)\[x^{\mu} = \Lambda_{\mu \nu} x^{\nu} + \alpha\]
    이 때 \(\alpha\) 는 민코프스키 공간의 임의의 벡터이다. (\(\mu , \nu = 0,1,2,3\))

모든 푸앵카레 변환의 모임이 형성하는 집합은 군을 이룬다. 이 군을 푸앵카레 군이라 부른다.

  • 푸앵카레 대칭성과 디락 방정식의 관계
    푸앵카레 군이 기술하는 대칭성을 푸앵카레 대칭성이라 부른다. 푸앵카레 대칭성에는 로렌츠 대칭성이 포함되어 있기 때문에 로렌츠 대칭성이 가지는 물리적, 수학적 의미를 모두 상속받는다. 푸앵카레 대칭성이 가장 멋지게 응용된 사례는 푸앵카레 대칭성을 가정하여 스핀이 1/2 인 입자의 양자역학적 거동을 예측하는 디락 방정식을 유도하는 것이다.
    • 일반적인 디락 방정식의 유도
      물리학자들은 상대론적 양자역학의 방정식을 만들기 위하여 슈뢰딩거 방정식에 로렌츠 변환에 대한 공변성을 요구하였다. 이를 통해 클라인-고든 방정식을 얻었는데, 클라인-고든 방정식이 시간에 대한 이계편미분방정식의 형태로 나타나 그 당시 코펜하겐 해석의 중심인 통계적 해석에 모순을 일으킨다. 따라서 디락은 인위적으로 클라인-고든 방정식의 시간에 대한 이계편미분을 두 개의 편미분으로 '인수분해'하여 서로 켤레가 되는 양자역학 방정식을 얻는다.(하나는 스핀이 1/2인 '입자'를 기술하는 방정식이고, 이 방정식의 복소켤레는 스핀이 1/2인 '반입자'를 기술하는 방정식이다.) 이 과정에서 인위적으로 클리포드 대수와 관련된 소위 디락의 감마행렬이 등장하게 되는데, 수학적으로 볼 때 추측을 바탕으로 논리를 전개하기 때문에 유도 과정의 엄밀성에 문제가 있다.
    • 푸앵카레 대칭성을 이용한 디락 방정식의 유도
      푸앵카레 군에는 총 12개의 생성원이 있다.
      • 시간 평행이동
      • 공간 평행이동
      • 회전
      • 로렌츠 변환
        이들 생성원들 사이의 관계가 클리포드 대수와 관계가 있다. 이 점을 이용하면 디락 방정식을 수학적으로 모순없이 유도할 수 있다.

역사



메모

관련된 항목들

사전 형태의 자료


관련도서

  • Lorentz and Poincaré invariance: 100 years of relativity


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Oblak, Blagoje. “From the Lorentz Group to the Celestial Sphere.” arXiv:1508.00920 [hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:physics], August 4, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.00920.
  • Heras, Ricardo. ‘Voigt’s Transformations and the Beginning of the Relativistic Revolution’. arXiv:1411.2559 [physics], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2559.


관련논문

  • Sellaroli, Giuseppe. “Wigner-Eckart Theorem and Jordan-Schwinger Representation for Infinite-Dimensional Representations of the Lorentz Group.” arXiv:1509.05633 [gr-Qc, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph], September 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.05633.
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  • Bargmann, V. “Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group.” Annals of Mathematics 48, no. 3 (1947): 568–640. doi:10.2307/1969129.
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