파동 방정식

수학노트
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개요

  • 편미분방정식\[{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\]


주요용어

  • 각속도(circular frequency) \(\omega\)
  • 파동수 (wavenumber) \(k\)
  • 속도 \(v=\omega/k\)
  • 진폭 amplitude 파동의 높이
  • 위상
  • dispersion relation
    • 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train \(u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\) 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) \(\omega\)와 파동수 (wavenumber) \(k\)의 관계
    • 파동방정식의 경우는 \(k=v\omega\) 를 만족시킨다


경계조건과 초기조건

  • 초기조건 (\(t=0\))
  • 디리클레 경계조건\[u(t,x=0)=u(t,x=a)=0\]
  • 노이만 경계조건\[u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0\]


1차원에서의 일반해

  • \(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) 또는 \(\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) (\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\))
  • 일반해는 \(Y=f(x+vt)+g(x-vt)\)로 주어진다
  • f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다


(증명)

\(u=x+at\), \(v=x-at\)라 두자.

그러면 \(Y=f(u)+g(v)\)로 쓸 수 있다.

\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\) \(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)


\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)


따라서

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■



변수분리

  • 정상파\[u(x,t)=X(x)T(t)\] 꼴로 표현되는 파동방정식의 해
  • 경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\) 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다\[u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})\]

(증명)

\(X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)\)


\(T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)\)


여기서 \(\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, n\in \mathbb{Z}\)


\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) ■



평면파

  • \(u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\)



맥스웰방정식

  • 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

로렌츠 불변성

  • 파동방정식 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 은 로렌츠 변환에 대하여 불변이다.
  • 즉 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 이면, \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } \) 이 성립한다. 여기서 \[\left( \begin{array}{c} x' \\ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ c t \end{array} \right), \quad u'(x',t')=u(x,t)\]


역사


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