원의 방정식

수학노트
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개요

  • 원은 평면에서 주어진 한 점으로부터 거리가 같은 모든 점들의 집합으로 정의된다
  • 2차원 좌표 평면 상에서 이를 점 $(x,y)$가 만족시키는 방정식으로 표현할 수 있으며, 이를 원의 방정식이라 한다
  • 다음과 같은 두 가지 형태로 표현된다
    • 표준형 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 이 때, $r>0$
    • 일반형 $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ 이 때, ${A^{2}}+{B^{2}}-{4C}>0$
  • 이차곡선(원뿔곡선)의 예이며, 타원의 특별한 경우에 해당


원의 방정식

표준형

원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 $O(a,b)$와 $P(x,y)$가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다 \[\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\] 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다. \[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\] 위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다.

일반형

이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다. \[x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}\]

우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..

그렇게 하면 \[x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\] 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.

먼저 $A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$로 치환을 해보자.

그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다 \[x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\]

우리는 이 식을 원의 방정식의 일반형이라고 부른다.


응용하기

단위원의 방정식

먼저 표준형에서 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r일경우

원의 방정식은 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다


일반형에서 표준형을 구하기

다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 에서 원의 중심은 다음과 같다 \[(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\] 그리고 이 때 반지름의 길이는 다음과 같이 표현 할수 있다 \[r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.\]

완전제곱식 만들기 항목 참조


메모


역사


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료