타원

수학노트
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개요

  • 원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
  • 이차곡선의 하나이다
  • 타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다



타원의 방정식

  • 타원은 이차곡선 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac<0\)인 경우
  • 타원의 방정식의 표준형
    • \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
    • \(a=b\) 이면 원이다. \(a>b\) 이면 가로( 축)로 납작한 타원, \(a<b\) 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
    • 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.
  • 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.


1999042-ellipse.jpg

\(\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3} y}{2}\right)^2=1\)



타원 둘레의 길이



타원내부의 면적

  • 다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 \(\pi a b\) 이다\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\]
  • 타원의 넓이 항목 참조



배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

  • 다항식
    • 일차식과 이차식
  • 원의 방정식



중요한 개념 및 정리

  • 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (0<b<a)\)을 고려하자.
  • 초점 \(f=\sqrt{a^2-b^2}\)라 두면, \((\pm f,0)\)
  • 이심률 (eccentricity)
    • 타원이 원에서 멀어지는 것을 재는 양 . 이심률은 \(e=\frac{f}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)로 주어진다

재미있는 문제

  • 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는
  • 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
  • 매개변수표현
  • 타원과 포물선 가 직교하기 위해서는 를 만족하면 된다.
    • 1999042-2.gif


관련된 항목들


관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들



관련있는 다른 과목

  • 물리
    • 행성운동
    • 지구는 태양의 주위를, 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 돌고 있음.
  • 미술
    • 원근법
    • 원을 바르게 그리려면, 타원으로 그려야 함.

1999042-ellipse1.JPG


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