1/(1+x^2)의 적분

트위터에서 이야기된 적분문제

\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?\)

엊그제 사람들이 트위터에서 위의 적분문제에 대하여 이야기를 나누었다.

치환적분을 통한 해결과 의문들

\(x=\tan t\) 로 치환하면,

\(dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt\)

\(1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t\) 이므로

\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C\)

를 얻게 된다.

이러이러하면 저러저러하게 된다는 것은 알겠는데, '이러한 치환적분을 어떻게 하면 자연스럽게 잘 이해할 수 있을까'가 사람들이 궁금해할 만한 점일 것 같다.

역사적으로 삼각치환이 어떻게 발전했는가를 알아보는것은 쉬울것 같지 않은데, 여기서는 대신에 이러한 류의 치환적분이 수학 속에 어떻게 자리잡고 있는지를 조금 이야기해볼까 한다.

함수와 도함수가 만족시키는 간단한 관계

함수 \(f(t)\)에 대하여 \(x=f(t), y=f'(t)\) 로 두어보자.

삼각함수와 쌍곡함수들의 경우, 다음과 같은 재미있는 패턴들을 발견할 수 있게 된다.

\(x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}\)

\(x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\)

\(x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}\)

\(x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}\)

\(x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1\)

\(x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2\)

\(x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)

\(x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)

한가지 눈에 띄는 것은, 여기에 등장하는 대수곡선 \(x^2+y^2=1,x^2-y^2=\pm 1, x^2+y=\pm1, x^2-y=-1\) 들이 이차곡선(원뿔곡선) 이라는 점이다.

삼각치환

적분에의 응용

위에서 보여준 함수들처럼 함수 \(f(t)\)의 도함수 \(f'(t)\) 가 \(f(t)\) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 \(g\)에 대하여 \(f'(t)=g(f(t))\) 로 표현할 수 있는 경우,

\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx\)

를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.

\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C\)

요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 함수들은, 어떤 특정한 함수의 부정적분을 구하는 문제에 응용할 수 있다는 것이다.

예)

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C\)

\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C\)

타원적분에의 응용

이러한 원리를 이용하면, 타원함수와 타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.

어떤 적당한 상수 \(g_2, g_3\)에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 (적어도 수학과 대학원생들에게는) 잘 알려진 복소함수가 있다.

\(\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots\)

이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.

\(\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)

위에서 삼각함수와 같이 이 함수도 본래의 함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 여기서도 찾을 수 있는 셈이다. 여기서는 \(g(x)=\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}\)가 된다.

삼각함수에서는 \(x^2+y^2=1\)와 같은 이차곡선이 얻어졌다면, 여기서는 \(y^2=4x^3-g_2x-g_3\) 와 같은 3차곡선, 즉 타원곡선 (이차곡선의 하나인 타원과는 다른 것임) 이 얻어지게 된다.

따라서 다음과 같은 적분문제의 답은

\(\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=\wp^{-1}(x)+C\)

즉, 바이어슈트라스의 타원함수\(\wp(z)\) 의 역함수가 된다.

삼각함수와 타원함수 사이의 비슷한 점들

\(x,y\)의 유리함수 \(R(x,y)\)가 주어졌을때, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\)와 같은 적분 문제에서 삼각치환이 자연스럽게 보이는 이유는 사실 적분의 역함수로 등장하는 함수들,

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C\)

\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C\)

즉, \(\sin x,\tan x\) 과 같은 삼각함수들을 우리가 잘 이해하고 있기 때문이며, 이러한 함수들은 이차곡선(원뿔곡선)의 이론과 필연적으로 만나게 된다.

다음과 같은 형태의 적분

\(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\) 또는

\(\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\)

을 타원적분이라 하는데, 위에서 삼각함수의 역할과 마찬가지로 타원적분의 역함수로서 타원함수를 도입하게 되면, 적분을 이해하는 문제로부터 타원함수를 얼마나 깊이 이해하는가가 새로운 관건으로 등장하게 된다.

\(\sin x,\tan x\) 라는 함수를 써서 치환적분하는 것이 허용된다면, 왜 바이어슈트라스의 타원함수\(\wp(z)\) 로 치환적분 하면 안되겠는가? 그리고 이 때 등장하는 곡선은 이차곡선이 아닌 \(y^2=4x^3-g_2x-g_3\)과 같은 타원곡선이다.

적분과 대수기하 : 역사적인 관점

이러한 생각들은 타원함수론의 발전에 지대한 공헌을 했던 칼 야코비의 '언제나 뒤집어라' ('man muss immer umkehren') 라는 말 속에 함축되어 있다.

아벨과 야코비는 1820년대부터 18세기부터 수학계의 뜨거운 화두였던 타원적분의 역함수로서의 타원함수와 그 이중주기와 같은 성질을 발견하고 이해를 심화시키는 경쟁에 들어간다.

그리고 훗날 리만은 이러한 타원함수들의 이중주기를 리만곡면인 토러스(즉, \(y^2=4x^3-g_2x-g_3\)와 같은 타원곡선)에서 정의된 함수로 이해하는 새로운 관점을 제시한다

이렇게 하여 기묘했던 적분의 기술들로부터, 어떤 함수들과 그에 연관된 대수곡선의 이해로, 수학의 방향전환이 시작되며, 현대의 추상적인 대수기하의 언어속에서 적분이란 그 구체적인 모습이 사라진채 흔적만 남아있게 된다.

Zagier와 Kontsevich가 2001년에 내놓은 'Periods' 라는 제목의 글에는 이러한 말이 있다. "It can be said without much overstretching that a large part of algebraic geometry is (in a hidden form) the study of integrals of rational functions of several variables. "

이렇게 역사적으로 적분의 문제들은 함수론과 대수곡선론이 자연스럽게 만나는 풍요로운 토양을 제공하였다. 다시 말하지만 결코 사소하지 않다 (피타고라스의 창, 2009-2-4)