오일러 치환

수학노트
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개요

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
  • 유리함수의 부정적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
  • 이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  • 삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
  • 타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

오일러 치환

제1오일러 치환

  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • 예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t-x\]\[x=\frac{4+t^2}{2t}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]


제2오일러 치환

  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예\[\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\]\[\sqrt{1-x^2}=xt+1\]\[x=\frac{2t}{t^2+1}\]\[\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\]



제3오일러 치환

  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • 예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\]\[x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]



타원적분

  • 유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분\[\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\]
    단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
  • 곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
  • 타원적분






역사



메모

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관련도서

  • Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons.