삼각치환

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
    • \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
    • \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
    • \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    • \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.


 

 

삼각치환의 이론적 근거

  • 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
    • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
    • '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
    • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다


삼각치환

  • \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정


\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

\[t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]

  • 다음을 얻는다

\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]


\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

\[t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\]

  • 다음을 얻는다

\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]

역사

 

 

관련된 항목들

 

 


 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전형태의 자료