삼각함수의 값

수학노트
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개요

  • 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(x=a\pi\)일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음
  • 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 해와 깊은 관련이 있어, 본질적으로는 대수방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음
  • 가령 가우스와 정17각형의 작도는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제\[\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\]
  • 정다각형의 대각선의 길이 문제와 깊은 연관



구하는 방법의 분류

  • 중학교 수준에서는 이등변삼각형과 정삼각형에 대해 피타고라스의 정리를 사용하여 몇 가지 경우를 계산할 수 있음
  • 더 일반적으로는 \(x^n-1=0\) 방정식의 복소수해를 구하여 실수부와 허수부로부터 \(\theta=m\pi/n\)인 경우의 코사인과 사인값을 얻을 수 있음


삼각함수의 값

\[\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}\]

\[x=\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 i \sqrt{3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)\] 방정식 \(8 x^3+4 x^2-4 x-1=0\)의 해

\[\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right)\]

테이블

$$ \begin{array}{c|c|c|c} n & \cos 2\pi /n & & \\ \hline 1 & \cos (2 \pi ) & 1 & 1.000000000 \\ \hline 2 & \cos \left(\frac{2 \pi }{2}\right) & -1 & -1.000000000 \\ \hline 3 & \cos \left(\frac{2 \pi }{3}\right) & -\frac{1}{2} & -0.5000000000 \\ \hline 4 & \cos \left(\frac{2 \pi }{4}\right) & 0 & 0 \\ \hline 5 & \cos \left(\frac{2 \pi }{5}\right) & \frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1\right) & 0.3090169944 \\ \hline 6 & \cos \left(\frac{2 \pi }{6}\right) & \frac{1}{2} & 0.5000000000 \\ \hline 7 & \cos \left(\frac{2 \pi }{7}\right) & \frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.6234898019 \\ \hline 8 & \cos \left(\frac{2 \pi }{8}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline 9 & \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right) & \frac{1}{2} \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1- \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.7660444431 \\ \hline 10 & \cos \left(\frac{2 \pi }{10}\right) & \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.8090169944 \\ \hline 11 & \cos \left(\frac{2 \pi }{11}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{9/11} \left(1+(-1)^{4/11}\right) & 0.8412535328 \\ \hline 12 & \cos \left(\frac{2 \pi }{12}\right) & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0.8660254038 \\ \hline 13 & \cos \left(\frac{2 \pi }{13}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{11/13} \left(1+(-1)^{4/13}\right) & 0.8854560257 \\ \hline 14 & \cos \left(\frac{2 \pi }{14}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{3} \left(5+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right)} & 0.9009688679 \\ \hline 15 & \cos \left(\frac{2 \pi }{15}\right) & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)}+\frac{1}{8} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.9135454576 \\ \hline 16 & \cos \left(\frac{2 \pi }{16}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline 17 & \cos \left(\frac{2 \pi }{17}\right) & \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right) & 0.9324722294 \\ \hline 18 & \cos \left(\frac{2 \pi }{18}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{8/9} \left(1+(-1)^{2/9}\right) & 0.9396926208 \\ \hline 19 & \cos \left(\frac{2 \pi }{19}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{17/19} \left(1+(-1)^{4/19}\right) & 0.9458172417 \\ \hline 20 & \cos \left(\frac{2 \pi }{20}\right) & \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}} & 0.9510565163 \\ \hline 120 & \cos \left(\frac{2 \pi }{120}\right) & \frac{1}{4}\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} & 0.9986295348 \\ \hline 360 & \cos \left(\frac{2 \pi }{360}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{179/180} \left(1+\sqrt[90]{-1}\right) & 0.9998476952 \end{array} $$

nested radicals

  • 배각공식 $\cos 2\theta =2 \cos^2 \theta - 1$의 응용

$$ \begin{array}{c|c|c|c} n & \cos \frac{\pi }{2^n} & & \\ \hline 2 & \cos \left(\frac{\pi }{2^2}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline 3 & \cos \left(\frac{\pi }{2^3}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline 4 & \cos \left(\frac{\pi }{2^4}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} & 0.9807852804 \\ \hline 5 & \cos \left(\frac{\pi }{2^5}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} & 0.9951847267 \\ \hline 6 & \cos \left(\frac{\pi }{2^6}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} & 0.9987954562 \\ \hline 7 & \cos \left(\frac{\pi }{2^7}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}} & 0.9996988187 \\ \hline 8 & \cos \left(\frac{\pi }{2^8}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}} & 0.9999247018 \end{array} $$ \[\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\]


삼각함수의 값과 무리수



역사



메모



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