황금비

수학노트
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개요

   

황금비

  • \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
  • 두 수 (또는 길이)  \(a,b\)가   \(a+b:a=a:b\) 를 만족시키면 황금비를 이룬다고 말함

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정오각형과 황금비

  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

3002548-180px-Ptolemy Pentagon.svg.png

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

 

황금비와 피보나치 수열

2252978-goldenrectangle.jpg

 

 

황금비와 정이십면체

Golden rectangles in an icosahedron


  • 황금사각형 세 개가 이루는 꼭지점이 정이십면체의 꼭지점이 된다

 

 

연분수

\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

 

 

유리수 근사와 황금비

무리수 \(\alpha\) 에 대하여,

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 p,q 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

 

 

로저스-라마누잔 연분수

\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)

 

Dilogarithm

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

 

 

르장드르 카이 함수

\[\chi_2(\frac{\sqrt{5} -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})\] \[\chi_2(\sqrt{5} -2) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})\]

 

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