연분수와 유리수 근사

수학노트
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연분수

\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

\(\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

\(-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\)



연분수와 유리수 근사

  • 무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 다음 부등식

\[\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}\] 을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다


유리수 근사와 황금비

유리수 근사와 황금비(i)

정리 (후르비츠)

무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\[\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]

는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

유리수 근사와 황금비(ii)

후르비츠의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 \(0<h<1\) 에 대하여

\(\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)

가 유한히 많은 유리수\(p/q\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.


증명

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)


\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)


\(5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2\)


\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)

따라서,

\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. ■


연분수의 재미있는 응용


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