무리수와 디오판투스 근사

수학노트
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개요

  • 슬로건
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다


유리수의 성질

  • \(\alpha\)가 유리수라고 하자. 적당한 정수 \(q_0>0\)가 존재하여, 모든 \(p,q>0\in \mathbb{Z}\)에 대하여, 다음 부등식이 성립한다

\[ |\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} \]


디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\] 는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조


무리수 판정

  • 모든 n에 대하여, \(\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha\), \(q_n>0\)이고,

\[\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty\] 인 유리수열 \(\{\frac{p_n}{q_n}\}\)이, 적당한 \(\delta>0\)에 대하여 부등식 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\]을 만족하면, \(\alpha\)는 무리수이다

증명

\(\alpha\)가 유리수이면, \[\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0\] 이 성립한다. 한편 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}\] 이고, \(n\to \infty\) 일 때, \(\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0\)이므로 모순.

리우빌 수

정리 (리우빌,1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다


Thue-Siegel-Roth 정리

  • 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]

을 만족시키는 유리수 \(p/q\) 의 개수는 유한하다

역사

  • 1844 리우빌
  • 1909 Thue
  • 1921 지겔
  • 1955 Roth (1958년 필즈메달)
  • 수학사 연표



메모

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