정다각형의 대각선의 길이

수학노트
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개요

  • 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이
  • 편의상 $n=\ell+2$로 두자. 대각선의 길이 $r_i$는 다음과 같이 주어진다

\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{\ell+2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{\ell+2}\right)},\quad i=0,1,\cdots,\ell\]

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대각선이 만족시키는 항등식 1

  • 다음을 만족한다

\[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k} \tag{1}\] 여기서 \(0\leq k\leq h<n/2\)이고, 우변은 k+1개항의 합.

  • 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ r_{h}\times r_{k}= r_{|h-k|}+ r_{|h-k|+2}+ \cdots + r_{\operatorname{min}(2\ell-(h+k),h+k)} $$ 여기서 $0\leq h,k \leq \ell$

  • 고등수학의 등각장론에서 fusion rule 로 등장한다


증명

다음과 같은 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자. \[\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\] 이를 이용하여, 다음을 얻을 수 있다 \[\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\] 따라서 \[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\] ■


대각선이 만족시키는 항등식 2

  • $r_i$는 다음의 점화식을 만족한다

\[r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq \ell-1\]

  • (1)을 이용하여 증명할 수 있다
  • 이는 제2종 체비셰프 다항식이 만족시키는 항등식 \(U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)\)과 같다


양자미적분학

  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 실수 n 의 q-analogue 로\[[n]_q =\frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}} \] 와 같은 표현을 사용하기도 함
  • \(q=e^{i\theta}\) 로 두면,\[[n]_q =\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\] 를 얻는다
  • 정다각형의 대각선의 길이\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}\] 와 유사한 표현을 얻는다
  • 이는 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하여 quantum dimension을 정의할 때 등장하는 표현이다


정사각형의 대각선


정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다. "루트2는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.



정오각형의 대각선

방법1

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것은 잘 알려진 사실이다. \[{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\]

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정오각형의 한 변의 길이가 1인 경우, 즉 \(a=1\)인 경우에 b는 황금비가 된다.

증명

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC와 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.

\[b^2 - ab - a^2 = 0\] \[(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\] ■


방법 2

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 아래그림에서 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\) 이 성립한다.


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톨레미의 정리를 적용해 보면, 사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 AC와 BD의 길이의 곱으로부터 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=b^2\)을 얻고, \(\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=a^2+ab\)를 얻을 수 있다.

이로부터 \(b^2 - ab - a^2 = 0\)를 얻을 수도 있다.

정육각형의 대각선

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 \(\sqrt{3}\)과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.



정칠각형의 대각선


정칠각형의 대각선의 길이

정칠각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

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한변의 길이 \(r_0=1\) 라 두고, 톨레미의 정리를 적용하면,

\(r_1^2=1+r_2\)

\(r_2r_1=r_1+r_2\)

\(r_2^2=r_2r_1+1\)

와 같은 관계를 얻을 수 있다.


이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.

\(r_1\)은 \(x^3-x^2-2x+1=0\) 의 해이고, \(r_2\)은 \(x^3-2x^2-x+1=0\) 의 해이다.

(증명)

\(r_2=r_1^2-1\) 이므로, \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터 \(r_1(r_1^2-1)=r_1+r_1^2-1\).

\(r_2^2=r_2r_1+1=r_1+r_2+1\) 이므로, \(r_1=r_2^2-r_2-1\). 이제 \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터, \(r_2(r_2^2-r_2-1)=r_2^2-r_2-1+r_2\). ■

이제 3차 방정식을 풀면 된다.


메모



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