루트2는 무리수이다

수학노트
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개요

  • \(\sqrt{2}=1.41421356237309504880168872420969807856967\cdots\)

루트 2는 무리수이다.
이 정리는 그 결과가 무척 심오하고 놀라울 뿐더러, 굉장히 역사적 의미가 있는 정리이기도 하다. 고등학교 1학년 초반에 배우는 것으로, 여기서 무언가를 느끼느냐 아니냐에 따라 고딩시절 수학과의 인연이 결정되는 것이라고 생각을 한다. 직각삼각형에 대한 피타고라스의 정리를 사용하면, 루트 2는 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이므로 그 존재가 의심할 수 없이 확실하다. 보이는 것은 존재하는 것이기 때문이다. 그런데 루트 2가 무리수라는 사실은, 그 대각선의 길이를 소수로 표현해 본다면, 1.4142135623730950488...으로 반복되지도 않고, 끝나지도 않는 수들이 끊임없이 나타난다는 것을 뜻한다. 참으로 이상한 결과가 아닐 수 없다. 어떻게 저렇게 정확히 표현할 수도 없는 게 수라는 말이냐? 당연히 혼란이 온다.
루트 2는 확실히 존재하는 무언가의 길이로 나타났으므로, 수인 것은 확실하다. 그런데 그것을 소수로 표현하면, 그것이 끝나지 않고 계속된다는 것을 받아들여야 한다. 그렇다면 이제 진실을 받아들여야 하는 순간이 온 것이다. 소수점 밑으로 끝나지 않고 계속되는 수의 열, 바로 그것이 수라는 사실을. 그러므로 0.99999... 도 수다.


증명

√2를 유리수라 한다면, 분수 꼴의 형태로 나타낼 수 있다.

임의의 정수 a, b를 사용해 분수 꼴로 나타내면 √2=b/a(a, b는 서로소인 정수, a≠0)

양변을 제곱하면 2=b^2/a^2 ⇒ 2a^2=b^2

b^2은 짝수이며, b^2이 짝수이므로 b도 짝수가 된다

b가 짝수이므로, b=2c가 되는 정수 c를 잡으면

2a^2=b^2=4c^2 ⇒ a^2=2c^2

a^2은 짝수이며, a^2이 짝수이므로 a도 짝수가 된다

그런데 a와 b가 모두 짝수이면 a와 b가 서로소라는 가정에 모순된다

따라서 √2는 유리수가 아니다

(물론 유리수가 아닌 실수이므로 무리수이다)



역사




관련된 항목들


관련도서

  • Flannery, David. 2005. The Square Root of Two. 1st ed. Springer.



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