페르마의 마지막 정리

수학노트
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개요

  • 3 이상의 자연수 n 에 대하여, \(x^n+y^n=z^n\) 의 정수해를 모두 찾는 문제.
  • 페르마는 1637년, x,y,z 가 모두 0 인 경우 외에는 해가 존재하지 않는다는 기록을 남김.

임의의 세제곱 수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱 수 역시 다른 두 네제곱 수의 합으로 표현될 수 없다.
일반적으로 3이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다.
나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다.

  • 증명은 1995년에야 앤드류 와일즈에 의해 얻어졌음.

 

 

프레이 타원곡선

  • \(\ell\) 홀수인 소수에 대하여, 0이 아닌 정수해 \(a^\ell + b^\ell = c^\ell\)가 존재한다고 가정하자.
  • 타원곡선 \(y^2 = x(x - a^\ell)(x + b^\ell)\) 을 프레이의 타원곡선이라고 한다. (타원곡선 항목 참조)
  • 프레이가 이 곡선의 이상한 행동을 발견
  • 세르 : 엡실론 추측(epsilon conjecture) 에 의하면, 이 곡선은 모듈라 성질을 가질 수 없다.
  • 리벳이 엡실론 추측을 증명 http://en.wikipedia.org/wiki/Ribet's_theorem
  • 타니야마-시무라 추측에 의하면, 유리수체 위에 정의된 타원곡선은 모두 모듈라 성질을 가져야 한다.
  • 따라서 타니야마-시무라 추측의 증명되면 페르마의 마지막 정리도 증명된다.

 

 

타니야마-시무라 추측

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 항목들

 

 

위키링크

 

일반인을 위한 참고도서와 참고자료

 

 

좀더 학술적인 참고도서

 

 

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Frey, Gerhard. 2009. “The Way to the Proof of Fermat’s Last Theorem.” Annales de La Faculté Des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série 6 18 (Fascicule Special): 5–23.
  • Faltings, Gerd. "The proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles." Notices of the AMS 42.7 (1995).
  • Cox, David A. 1994. “Introduction to Fermat’s Last Theorem.” The American Mathematical Monthly 101 (1): 3–14. doi:10.2307/2325116.
  • Gouvêa, Fernando Q. 1994. “‘A Marvelous Proof.’” The American Mathematical Monthly 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598.
  • Mazur, B. 1991. “Number Theory as Gadfly.” The American Mathematical Monthly 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924.
  • Ribet, Kenneth A. 1990. “From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat’s Last Theorem.” Toulouse. Faculté Des Sciences. Annales. Mathématiques. Série 5 11 (1): 116–139. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1990_5_11_1/AFST_1990_5_11_1_116_0/AFST_1990_5_11_1_116_0.pdf

 

관련논문

  • Taylor, Richard, and Andrew Wiles. 1995. “Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras.” Annals of Mathematics. Second Series 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560.
  • Wiles, Andrew. 1995. “Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem.” Annals of Mathematics. Second Series 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559.
  • Ribet, K. A. 1990. “On Modular Representations of $\rm Gal(\overline{\bf Q}/\bf Q)$ Arising from Modular Forms.” Inventiones Mathematicae 100 (2): 431–476. doi:10.1007/BF01231195.
  • Frey, Gerhard. 1986. “Links between Stable Elliptic Curves and Certain Diophantine Equations.” Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae 1 (1): iv+40.