라마누잔과 1729

 

 

간단한 소개

오늘은 라마누잔의 1729라는 숫자에 대한 얘기인데, 1729라는 숫자가 라마누잔의 눈에 들어올 수 있었던 수학적인 배경에 대해 말하고자 한다.

먼저 하디의 회고다.

그(라마누잔)가 아파서 Putney(런던의 남서부 지구)에 있을 때 찾아갔던 일을 기억한다. 나는 번호판이 1729인 택시를 탔는데 이 숫자가 무지하게 평범한 숫자[dull one]이라는 걸 깨닫고는, 이것이 불길한 징조가 아니길 바랬다. “아니야” 라고 그가 대답하면서 “매우 흥미로운 숫자이지. 그것은 두 개의 세제곱수로 나타내는 방법이 두 가지인 최소의 자연수이거든.”이라고 말했다. (추유호’s encyclopedia에서 1729의 성질)

\(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)

를 말하는 것이다. 이러한 일화를 보면, 라마누잔이 굉장히 변태같았다고 느껴질지 모른다. 물론 라마누잔은 변태가 맞다.그러나 최소한 1729라는 숫자에만 집중한다면, 1729는 라마누잔의 시야에 매우 잘 들어왔던 수였을 것이라고 나는 추측한다. 나는 오히려 하디가 그것을 그리 쉽게 놓친 것이 이상하다. 물론 라마누잔은 변태이기 때문에, 이미 훨씬 전에 아무런 수학적 컨텍스트없이 이러한 것을 알고 있었을 지도 모른다는 점도 미리 밝혀둔다.

라마누잔은 modular equation과 분할수(partition number)에 대한 연구에서 많은 성과를 낸바가 있다.

아래 정의된 함수의 계수로 등장하는 라마누잔의 타우를 보자.

\(/Delta(z)=/sum_{n/geq 1}/tau(n)q^n=q/prod_{n/geq 1}(1-q^n)^{24}\)

숫자 24가 등장한다. 이 함수는 modular form of weight 12 이다. 이 식은 다음과 같은 표현을 갖는다.

\(/Delta(z)=/frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\)

12의 세 제곱인 1728이 등장했다. 여기서 \(E_4\)와 \(E_6\)는 Eisenstein series라 불리는 함수들이다.

그러면 유명한 j-invariant 는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

\(j(/tau)=/frac{E_4^3}{/Delta(z)}=1728/frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}=12^3/frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}\)

이러한 것들에 대해서 라마누잔이 매우 잘 알고 있었음은 의심의 여지가 없다.

라마누잔이 분할수에 대하여 이룬 발견도 한번 살펴볼 필요가 있다.

\(p(5k+4)/equiv 0 /pmod 5\)
\(p(7k+5)/equiv 0 /pmod 7\)
\(p(11k+6)/equiv 0 /pmod {11}\)

5,7,11이라는 숫자는 각각 1을 더하면, 6,8,12가 되어, 24의 약수가 된다.
그리고 여기서 5k+4, 7k+5, 11k+6도 아무렇게나 나오는 것이 아니라,

\(24/times4 /equiv 1 /pmod 5\)
\(24/times5 /equiv 1 /pmod 7\)
\(24/times6 /equiv 1 /pmod 11\)

를 만족시킨다.

하디와 라마누잔의 partition number에 대한 근사식

\(p(n) /sim /frac {/exp /left( /pi /sqrt {2n/3}/right) } {4n/sqrt{3}} /mbox { as } n/rightarrow /infty\)

을 업그레이드시킨 Rademacher의 공식을 보면,

\(p(n)=/frac{1}{/pi /sqrt{2}} /sum_{k=1}^/infty A_k(n)/;<br/>/sqrt{k} /; /frac{d}{dn}<br/>/left( /frac {/sinh /left( /frac{/pi}{k}<br/>/sqrt{/frac{2}{3}/left(n-/frac{1}{24}/right)}/right) }<br/>{/sqrt{n-/frac{1}{24}}}/right)<br/>\)

라 하여 24가 살며시 등장하고 있는 것을 볼 수 있다.

이러한 사태의 근원은, 분할수의 생성함수

\(/sum_{n=0}^/infty p(n)x^n = /prod_{k=1}^/infty /left(/frac {1}{1-x^k} /right)\)

를 다음과 같이 생긴 Dedekind eta

\(/eta(/tau) = q^{1/24} /prod_{n=1}^{/infty} (1-q^{n})=e^{/pi i/tau/12}/prod_{n=1}^/infty /left(1-e^{2/pi in/tau}/right)\)

를 통해 공략하는데서 찾아야 할 것이다.

한마디로 말하자면, 라마누잔의 수학은 12와 24가 난무하는 세계인 것이다. 이런 사람에게 1729라는 숫자가 눈에 들어왔을 개연성은 매우 높다고 할 수 있다. 그렇다면 라마누잔같은 변태가 이것을 놓치는게 더 이상한 일이 아닌가?

Michio Kaku의 책 Hyperspace의 The mystery of Modular functions 섹션도 좀 오바+구라가 있긴 하지만 다음과 같은 언급을 하고 있다.

“Srinivasa Ramanujan was the strangest man in all of mathematics, probably in the entire history of science. He has been compared to a bursting supernova, illuminating the darkest, most profound corners of mathematics, before being tragically struck down by tuberculosis at the age of 33, like Riemann before him. Working in total isolation from the main currents of his field, he was able to rederive 100 years’ worth of Western mathematics on his own. The tragedy of his life is that much of his work was wasted rediscovering known mathematics. Scattered throughout the obscure equations in his notebooks are these modular functions, which are among the strangest ever found…

“In the work of Ramanujan, the number 24 appears repeatedly. This is an example of what mathematicians call magic numbers, which continually appear where we least expect them, for reasons that no one understands. Miraculously, Ramanujan’s function also appears in string theory… In string theory, each of the 24 modes in the Ramanujan function corresponds to a physical vibration of the string…

“When the Ramanujan function is generalized, the number 24 is replaced by the number 8. Thus, the critical number for the superstring is 8 + 2, or 10. This is the origin of the tenth dimension. The string vibrates in ten dimensions because it requires these generalized Ramanujan functions in order to remain self – consistent. In other words, physicists have not the slightest understanding of why ten and 26 dimensions are singled out as the dimension of the string. ”

“It’s as though there is some kind of deep numerology being manifested in these functions that no one understands…”

“In the final analysis, the origin of the ten – dimensional theory is as mysterious as Ramanujan himself. When asked by audiences why nature might exist in ten dimensions, physicists are forced to answer, “We don’t know.”"

(왜 물리학자들이 우주가 10차원이라고 하는지에 짤막하게 적어놓은 Why 10 dimensions 이라는 글도 한번 읽고, 이해가는 사람은 설명좀…)

 

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 다른 주제들

• 숫자 12와 24
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문

• Taxicabs and Sums of Two Cubes
  
  • Joseph H. SilvermanThe American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 4 (Apr., 1993), pp. 331-340
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=taxicabs
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

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