라마누잔과 1729

수학노트
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하디의 회고와 1729

먼저 하디의 회고다.

그(라마누잔)가 아파서 Putney(런던의 남서부 지구)에 있을 때 찾아갔던 일을 기억한다. 나는 번호판이 1729인 택시를 탔는데 이 숫자가 무지하게 평범한 숫자[dull one]이라는 걸 깨닫고는, 이것이 불길한 징조가 아니길 바랬다. “아니야” 라고 그가 대답하면서 “매우 흥미로운 숫자이지. 그것은 두 개의 세제곱수로 나타내는 방법이 두 가지인 최소의 자연수이거든.”이라고 말했다. (추유호’s encyclopedia에서 1729의 성질)


\(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)

를 말하는 것이다. 이러한 일화를 보면, 라마누잔이 굉장히 변태같았다고 느껴질지 모른다. 물론 라마누잔은 변태가 맞다.그러나 최소한 1729라는 숫자에만 집중한다면, 1729는 라마누잔의 시야에 매우 잘 들어왔던 수였을 것이라고 나는 추측한다. 나는 오히려 하디가 그것을 그리 쉽게 놓친 것이 이상하다. 물론 라마누잔은 변태이기 때문에, 이미 훨씬 전에 아무런 수학적 컨텍스트없이 이러한 것을 알고 있었을 지도 모른다는 점도 미리 밝혀둔다.


수학적인 배경들



모듈라 함수와 1729

아래 정의된 함수의 계수로 등장하는 라마누잔의 타우함수 \(\tau(n)\)를 보자.

판별식 (discriminant) 함수

\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)

숫자 24가 등장한다. 이 함수는 modular form of weight 12 이다. 이 식은 다음과 같은 표현을 갖는다.

\(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_ 4^3-E_ 6^2)\)

12의 세 제곱인 1728이 등장했다. 여기서 \(E_ 4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\)와 \(E_ 6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)라 불리는 함수들이다.

그러면 유명한 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

\(j(\tau)=\frac{E_ 4^3}{\Delta(z)}=1728\frac{E_ 4^3}{E_ 4^3-E_ 6^2}=12^3\frac{E_ 4^3}{E_ 4^3-E_ 6^2}\)

이러한 것들에 대해서 라마누잔이 매우 잘 알고 있었음은 의심의 여지가 없다.



분할수와 1729

라마누잔이 분할수에 대하여 이룬 발견도 한번 살펴볼 필요가 있다. (더 자세한 내용은 분할의 rank와 crank 항목을 참조)

\(p (5k+4)\equiv 0 \pmod 5\)

\(p (7k+5)\equiv 0 \pmod 7\)

\(p (11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\)

5,7,11이라는 숫자는 각각 1을 더하면, 6,8,12가 되어, 24의 약수가 된다.
그리고 여기서 5k+4, 7k+5, 11k+6도 다음과 같은 기묘한 합동식 (모듈로 modulo 연산)을 만족시킨다.

\(24\times4\equiv 1\pmod 5\)

\(24\times5\equiv 1\pmod 7\)

\(24\times6\equiv 1\pmod 11\)

를 만족시킨다.

하디와 라마누잔의 partition number에 대한 근사식

하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식

\(p (n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\)

\(p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k (n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\)


라 하여 24가 살며시 등장하고 있는 것을 볼 수 있다.

이러한 사태의 근원은, 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)

를 다음과 같이 생긴 데데킨트 에타함수 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 의 모듈라 성질을 통해 공략하는데서 찾아야 할 것이다. 요약하자면, 라마누잔의 수학은 12와 24가 난무하는 세계인 것이다. 이런 사람에게 1729라는 숫자가 눈에 들어왔을 개연성은 매우 높다고 할 수 있다. 그렇다면 라마누잔같은 변태가 이것을 놓치는게 더 이상한 일이 아닌가?


디오판투스 방정식

  • \(x^3+y^3=1729\)의 정수해를 모두 찾는 문제\[(x,y)=(1,12),(9,10),(10,9),(12,1)\]

(풀이)

\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)과 \(1729=7\times 13\times19\) 임을 이용하자.

가능한 정수곱 \(1729=AB\)에 대하여, \(x+y=A\), \(x^2-xy+y^2=B\)로 두자.

\(y=A-x\)로 두면, \(3x^3-3Ax+A^2-B=0\)를 얻고, 이를 풀면

\(x=\frac{3A\pm\sqrt{12B-3A^2}}{6}\)

를 얻는다. \(x\)가 정수가 되는 가능한 \((A,B)\) 쌍을 찾으면 된다.

\(B\geq \frac{A^2}{4}\geq 0 \) 임을 이용하면 경우의 수를 줄일 수 있으며, \((A,B)=(13,133)\) 또는 \((A,B)=(19,91)\) 만이 가능한 쌍임을 알 수 있다.

따라서 \(x=1,9,10,12\)를 얻을 수 있다.



메모


Michio Kaku의 책 Hyperspace의 The mystery of Modular functions 섹션은 다음과 같은 언급을 하고 있다.

“Srinivasa Ramanujan was the strangest man in all of mathematics, probably in the entire history of science. He has been compared to a bursting supernova, illuminating the darkest, most profound corners of mathematics, before being tragically struck down by tuberculosis at the age of 33, like Riemann before him. Working in total isolation from the main currents of his field, he was able to rederive 100 years’ worth of Western mathematics on his own. The tragedy of his life is that much of his work was wasted rediscovering known mathematics. Scattered throughout the obscure equations in his notebooks are these modular functions, which are among the strangest ever found…

In the work of Ramanujan, the number 24 appears repeatedly. This is an example of what mathematicians call magic numbers, which continually appear where we least expect them, for reasons that no one understands. Miraculously, Ramanujan’s function also appears in string theory… In string theory, each of the 24 modes in the Ramanujan function corresponds to a physical vibration of the string…

“When the Ramanujan function is generalized, the number 24 is replaced by the number 8. Thus, the critical number for the superstring is 8 + 2, or 10. This is the origin of the tenth dimension. The string vibrates in ten dimensions because it requires these generalized Ramanujan functions in order to remain self – consistent. In other words, physicists have not the slightest understanding of why ten and 26 dimensions are singled out as the dimension of the string. ”

“It’s as though there is some kind of deep numerology being manifested in these functions that no one understands…”

“In the final analysis, the origin of the ten – dimensional theory is as mysterious as Ramanujan himself. When asked by audiences why nature might exist in ten dimensions, physicists are forced to answer, “We don’t know.”"

  • 물리학자들이 우주가 10차원이라고 하는지에 짤막하게 적어놓은 Why 10 dimensions 이라는 글도 있음


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