라마누잔의 세타함수

수학노트
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개요

  • 라마누잔의 세타함수를 다음과 같이 정의함

\[f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}\]

\[f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty\]

  • $\phi, \psi, \cdots$

\[\phi(q):=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty } q^{n^2}=(-q;q^2)^{2}_{\infty} \left(q^2;q^2\right){}_{\infty }\] \[\psi(q):=f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty } q^{n(n+1)/2}=\frac{\left(q^2;q^2\right){}_{\infty }}{\left(q;q^2\right){}_{\infty }}\] \[f(-q):=f(-q,-q^{2})=(q;q)_{\infty }\] \[\frac{f(-q^{2},-q^{2})}{f(-q)}=\frac{\left(q^2;q^4\right)^2_{\infty }\left(q^4;q^4\right){}_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}=\left(-q;q^2\right){}_{\infty }\]

 

 

메모

\[f(-q)=(q;q)_{\infty}\] \[\phi(-q)=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\] \[\psi(-q)=\frac{(q^{2};q^{2})_{\infty}}{(-q;q^{2})_{\infty}}\] \[\chi(-q)=(q;q^{2})_{\infty}\]

 

역사

 

 

 

메모

 

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