리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

개요

3차원 리대수 \[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
$L=\langle E,F,H \rangle$
commutator\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]
universal enveloping algebra의 PBW 기저 $\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}$

$\mathbb{F}$ : algebraically closed field with characteristic 0
$V$ :유한차원인 기약표현
$V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}$, $V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}$
$\lambda\in \mathbb{F}$ 에 대하여, highest weight vector $v_0$ 를 정의\[Ev_0=0\]\[Hv_0=\lambda v_0\]
$v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0$ 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\]\[F v_j=(j+1)v_{j+1}\]\[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]
$\{v^j|j\geq 0\}$ 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, $\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0$ 이 만족되어야 한다

파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 $\mathfrak{sl}(2)$ 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 $E,F$는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 $$H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$ $$E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$ $$F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ $$[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}$$